同济高等数学第六版上册第一章ppt.pdf

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1、第一章第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、极限存在准则目录上页下页返回结束数列的定义定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数x,x,,x,(1)12n称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,x称为通项(一般项).数列(1)记为{x}.nnnn例如2,4,8,,2,;{2}11111,,,,,;{}nn24822目录上页下页返回结束n1n11,1,1,,(1),;{(1)}n1n114n(1)n(1)2,,,,,;{}23nn3,33,,333,注1.数列对应着数轴上一个点列.

2、可看作一意：动点在数轴上依次取x1,x2,,xn,.x3x1x2x4xn2.数列是整标函数xnf(n).目录上页下页返回结束定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于nN时的一切x,n不等式xa都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列x收敛于a,记为nnlimxa,或xa(n).nnn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注1.不等式xa刻划了x与a的无限接近;nn意：2.N与任意给定的正数有关.目录上页下页返回结束N定义:limxnan0,N0,使nN时,恒有xa.n其

3、中:每一个或任给的;:至少有一个或存在.几何解释:2aaxxxaxxx21N1N23当nN时,所有的点x都落在(a,a)内,n只有有限个(至多只有N个)落在其外.目录上页下页返回结束nn(1)例1.已知xn,证明数列xn的极限为1.nnn(1)1证:xn11nn110,欲使xn1,即,只要nn1因此,取N[],则当nN时,就有nn(1)1nnn(1)故limxnlim1nnn目录上页下页返回结束2n1例2.设q1,证明等比数列1,q,q,,q,的极限为0.n

4、1qn1证:x0q0nn1(0,1),欲使xn0,只要q,即(1)lnln,lnnq亦即n1.lnqln因此,取N1,则当n>N时,就有lnqn1q0n1故limq0n目录上页下页返回结束baba二、收敛数列的性质221.收敛数列的极限唯一.aabb2证:用反证法.假设limxna及limxnb,且ab.nnba取,因limxna,故存在N1,使当n>N1时,2nxnaba,从而ab2xn2同理,因limxnb,故存在N2,使当n>N2时,有nx

5、bba,从而xabn2n2取NmaxN1,N2,则当n>N时,xn满足的不等式bbaaxxbabbaa3aabbxx3baab矛盾,22nn因此收敛数列的极限必唯一2222nn22.故假设不真!目录上页下页返回结束2.收敛数列一定有界.证:设limxna,取1,则当N,nN时,有nxna1,从而有xn(xna)axnaa1a取Mmaxx1,x2,,xN,1a则有xnM(n1,2,).由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,n1数列(1)虽

6、有界但不收敛.目录上页下页返回结束3.收敛数列具有保号性.若limxna,且a0,则NN,当nN时,有xn0n(0)(0)证:对a>0,取a,则NN,当nN时,2axaa0xna2n2aa22Oax推论:若数列从某项起xn0,且limxna,则a0n(0)(0).(用反证法证明)目录上页下页返回结束4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列{xnk}是数列{xn}的任一子数列.若limxna,则0,N,当nN时,有nxna现取正整数K,使nKN,于是当kK时,有xNxnKnk

7、nKN******************************************NnK从而有xnka,由此证明limxna.kk目录上页下页返回结束说明:由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散.例如，x(1)n1(n1,2,)发散!nlimx1;limx12k12kkk目录上页下页返回结束内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限目录上页下页返回结束第一章第三节函数的极限对yf(x),自变量变化过程的六种