高等数学(同济第六版)第一章第10节.ppt

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1、第十节一、最值定理二、介值定理*三、一致连续性闭区间上连续函数的性质第一章1注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点,第一章第一节2例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,第一章第一节3推论.由定理1可知有证:设上有界.二、介值定理定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.第一章第一节4定理3.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点

2、定理知,至少有一点使即推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.第一章第一节5例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则6上连续,且恒为正,例2.设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:7*三.一致连续性已知函数在区间I上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在I上一致连续.显然:第一章第一节8例如,但不一致连续.因为取点则

3、可以任意小但这说明在(0,1]上不一致连续.定理.上一致连续.(证明略)思考:P73题6提示:设存在,作辅助函数显然第一章第一节9内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在第一章第一节101.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:第一章第一节11则证明至少存在使提示:令则易证2.设作业P73题2;3;4一点第一章第一节12备用题至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得

4、证.内至少存在一点在开区间显然正根.第一章第一节13