高等数学1-5 同济第六版.ppt

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1、1.极限的四则运算法则2.复合函数的极限运算法则第五节极限运算法则第一章函数与极限一、极限的四则运算法则证:因则有(其中,为无穷小)于是，又由无穷小性质知,也是无穷小,再利用函数极限与无穷小的关系定理,得证.定理1.推论:利用保号性定理的推论证明.注:定理1（极限的加减法）可推广到有限个函数相加、减的情形.分析:令定理2.注:定理2可推广到有限个函数相乘的情形.证:(极限的乘法，课后自证)推论1.(C为常数)推论2.(m为正整数)例1.设n次多项式试证定理4.注:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由前面的各定理直接得出结论.定理3.且B≠0,则有证:因则其中,

2、为无穷小.令无穷小有界因此为无穷小,从而,极限的除法例2.证:注:不能直接用商的运算法则.例3.x=3时分母为0!例4.解:x=1时分母=0,分子≠0,但因例5.解:x时,分子.分子分母同除以则分母,原式注:当x时通常将分子、分母同除以x的最高次幂.一般有如下结果：二、复合函数的极限运算法则定理5.设f[g(x)]由函数f(u)和u=g(x)复合而成，证:①因此①式成立.故注：定理中若则类似可得相当于作一个变量代换！定理5.设f[g(x)]由函数f(u)和u=g(x)复合而成，例6.解:已知故原式=原函数可看作由例7.解:方法1则令故原式方法2小结1.极限运

3、算法则(1)极限四则运算法则(无穷小运算法则)(2)复合函数极限运算法则注意使用条件!2.求函数极限的方法a.有理分式函数极限求法用代入法，分母不为0直接代入。分母为0时，若分子也为0，则约去公因子，否则就“上下交换”得到极限为.分子分母同时除以最高次幂c.复合函数极限求法设中间变量b.无理分式函数极限求法变量代换分子(母)有理化课堂练习1.2.3.解法1原式=解法2原式=4.解:则故因此5.解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得设f(x)是多项式,且求f(x).可见故作业P491/(2)(4)(6)(8)(10)(12)(14)2/(1)(3)3P42234(用定义证

4、，用“－”语言）