平面向量数乘运算.ppt

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1、2.2平面向量的线性运算——数与向量的乘法1.向量加法三角形法则:特点:首尾相接，首连尾特点:共起点BAO特点：共起点，连终点，方向指向被减数2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:实际背景在物理中：位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量=ABCD++(-)(-)(-)-ABCD++＝练习1:OAPB探究:相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？-a如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)..aa-aaa-aOA=

2、a+a+aPB=(-a)+(-a))+(-a)=3a=-3a-a定义:特别地，当λ=0或a=0时,λa=0(2)方向当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；(1)长度

3、λa

4、=

5、λ

6、·

7、a

8、一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。它的长度和方向规定如下：几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（不改变）的方向，就得到了λa

9、λ

10、aa数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若,当沿的方向放大了倍.当沿的方向缩短了倍.当,沿的反方

11、向放大了倍.当沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题.练习2:结论:2a+2b=2(a+b)结论:3(2a)=6a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。=三、向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12a向量的加、减、数乘运算统称为向量的

12、线性运算。对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b如图:ABCD的两条对角线交于点M,且,试求ADBMC思考:当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。1、如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa？对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有

13、b

14、=μ

15、a

16、,且向

17、量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa.定理:例2小结回顾:二、知识应用：1.证明向量共线；2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线；3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB、CD不重合直线AB∥直线CD一、概念与定理①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线附加：如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+bMC=…=a+b基础知识反馈C.A.B.(2).设是非零向量

18、,是非零实数,下列结论正确的是().D.(1).下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个BC例4:若其中,是已知向量,求，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得解：记　①，②3②得③①-③得例5如图所示，已知　　　说明向量与的关系．解：因为所以，与共线同方向，长度是的3倍oAB问题:如果把3都换成k(不为0),结论会有什么变化?反馈演练：1.在中,设D为边ＢＣ的中点,求证:ＡＢＣＤ解：因为（２）所以，所证等式成立ＡＢＣＤE过点B作BE,使连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是B

19、C中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有解2:例6:如图，在中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设请用.ECODBA分析:解题的关键是建立的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。解：因为A是BC的中点，所以练习（C）分析:由所以在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿(1)(2)ABCD二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD

20、课堂小结：一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线