镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)

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1、全免费,无限资源无限下载----------------------------------------嘉兴数学网欢迎您www.jxsxjx.com镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)1.设I是非等边△ABC的内心,分别是△ABC的内切圆在BC,CA,AB边上的切点,证明:△的重心在直线OI上,其中O是△ABC的外心。2.求所有正整数对(b,c)使得数列,仅有有限个项为合数。3.求k的最小值,使得其中分别是△ABC的a、b边上的内角平分线的长。镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)第4页共4页全免

2、费,无限资源无限下载----------------------------------------嘉兴数学网欢迎您www.jxsxjx.com镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)解答1.设I是非等边△ABC的内心,分别是△ABC的内切圆在BC,CA,AB边上的切点,证明:△的重心在直线OI上,其中O是△ABC的外心。证明:设AI,则D、E、F分别是,、的中点。设△DEF的外心为由于D、E、F分别是、、的中点,故为△的九点圆的圆心,而I为△的外心,设H为△的重心,则H、、I三点共线。、、共线、I、共

3、线,以I为反演中心,为反演幂作反演变换,由于故由射影定理知ID·IA==,故D的反点为A,同理E、F的反点分别为B、C。故△DEF的外接圆的反形为△ABC的外接圆,故为反形,从而它们的圆心连线必过反演中心I,即、共线,故H、I、共线,命题得证。点评:在处理某些圆心共线问题时,反演变换往往可发挥奇效。镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)第4页共4页全免费,无限资源无限下载----------------------------------------嘉兴数学网欢迎您www.jxsxjx.com2.求所

4、有正整数对(b,c)使得数列,仅有有限个项为合数。解答:首先,证明对任意的,有。事实上,若存在,使,易知对,有记,则。因中仅有有限项为合数,故存在,使当时,均为素数。在()中,取,(其中为欧拉函数,)与为素数矛盾!故对任意的,有。①设中有连续两项为偶数,设2,设,则对,有2

5、,又由条件知存在,使得当时,。取这样的最小的,若=1,即(b,c)=(2,2),显然满足题意;若,由,则(b,c)=(4,2)亦满足题意;若,则且但,故右边为奇数,左边为偶数,矛盾!因而这时满足条件的(b,c)有4个:(2,2)、(

6、4,2)、(7,4)、(5,4)。②设中有某项为偶数,但2不整除。若存在,则由,2不整除,但2整除此式的右边,矛盾!故此时只能为,且对,由前面证明有,易知若,由。由不增,且其中仅有有限个合数,故存在,使时,(P为素数或1)设最小值为,由(当存在时),此时必不存在。综上,所求(b,c)共有5个:(4,2)(7,4)(5,4)(p,p)(2p,p)(其中P为素数或1)点评:本题难度不大,但是比较烦,且情形较多,容易漏解,因此,一定要考虑全面,题中证明对、是关键,有了这一步,后面的讨论就水到渠成了。镇海中学数

7、学奥林匹克中级训练题(009)第4页共4页全免费,无限资源无限下载----------------------------------------嘉兴数学网欢迎您www.jxsxjx.com3.求k的最小值,使得其中分别是△ABC的a、b边上的内角平分线的长。解:当同理下证由综上,k最小值为点评:此题猜出k的最小值并不困难,在放缩中利用了,接下来的做法就是自然的了。镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)第4页共4页

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