镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)

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1、全免费，无限资源无限下载----------------------------------------嘉兴数学网欢迎您www.jxsxjx.com镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)1.设I是非等边△ABC的内心，分别是△ABC的内切圆在BC，CA，AB边上的切点，证明：△的重心在直线OI上，其中O是△ABC的外心。2.求所有正整数对（b,c）使得数列，仅有有限个项为合数。3.求k的最小值，使得其中分别是△ABC的a、b边上的内角平分线的长。镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)第4页共4页全免

2、费，无限资源无限下载----------------------------------------嘉兴数学网欢迎您www.jxsxjx.com镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)解答1.设I是非等边△ABC的内心，分别是△ABC的内切圆在BC，CA，AB边上的切点，证明：△的重心在直线OI上，其中O是△ABC的外心。证明：设AI，则D、E、F分别是，、的中点。设△DEF的外心为由于D、E、F分别是、、的中点，故为△的九点圆的圆心，而I为△的外心，设H为△的重心，则H、、I三点共线。、、共线、I、共

3、线，以I为反演中心，为反演幂作反演变换，由于故由射影定理知ID·IA==，故D的反点为A，同理E、F的反点分别为B、C。故△DEF的外接圆的反形为△ABC的外接圆，故为反形，从而它们的圆心连线必过反演中心I，即、共线，故H、I、共线，命题得证。点评：在处理某些圆心共线问题时，反演变换往往可发挥奇效。镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)第4页共4页全免费，无限资源无限下载----------------------------------------嘉兴数学网欢迎您www.jxsxjx.com2.求所

4、有正整数对（b,c）使得数列，仅有有限个项为合数。解答：首先，证明对任意的，有。事实上，若存在，使，易知对，有记，则。因中仅有有限项为合数，故存在，使当时，均为素数。在（）中，取，（其中为欧拉函数，）与为素数矛盾！故对任意的，有。①设中有连续两项为偶数，设2，设，则对，有2

5、，又由条件知存在，使得当时，。取这样的最小的，若=1，即（b,c）=(2,2)，显然满足题意；若，由，则（b,c）=（4，2）亦满足题意；若，则且但，故右边为奇数，左边为偶数，矛盾！因而这时满足条件的（b,c）有4个：（2，2）、（

6、4，2）、（7，4）、（5，4）。②设中有某项为偶数，但2不整除。若存在，则由，2不整除，但2整除此式的右边，矛盾！故此时只能为，且对，由前面证明有，易知若，由。由不增，且其中仅有有限个合数，故存在，使时，（P为素数或1）设最小值为，由（当存在时），此时必不存在。综上，所求（b,c）共有5个：（4，2）（7，4）（5，4）（p,p）(2p,p)（其中P为素数或1）点评：本题难度不大，但是比较烦，且情形较多，容易漏解，因此，一定要考虑全面，题中证明对、是关键，有了这一步，后面的讨论就水到渠成了。镇海中学数

7、学奥林匹克中级训练题(009)第4页共4页全免费，无限资源无限下载----------------------------------------嘉兴数学网欢迎您www.jxsxjx.com3.求k的最小值，使得其中分别是△ABC的a、b边上的内角平分线的长。解：当同理下证由综上，k最小值为点评：此题猜出k的最小值并不困难，在放缩中利用了，接下来的做法就是自然的了。镇海中学数学奥林匹克中级训练题(009)第4页共4页