对多元函数值域与最值问题求解策略的一些思考.pdf

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1、52数学教学研究第33卷第1期2o14年1月对多元函数值域与最值问题求解策略的一些思考戴定华(江苏省溧阳中学213300)多元函数是高考和各类竞赛的热点，由思维和逻辑来构建数学体系．理解多元函数于此类题目涉及的知识面广，难度大，往往涉也应从它的定义开始，相关的技巧、方法是在及到函数、方程、不等式、三角、平面几何、向定义的基础上进行的拓展、创造．在高中阶量等知识，灵活性、综合性很强，解决策略较段，多元函数以一元函数和二元函数居多．在多，不仅蕴涵了丰富的数学思想和方法，而且求解多元函数值域与最值问题时，需要重点有利于培养学生联想、化归的解题能力．关注函数三要素中的定义域、对应法则，理清求解

2、多元函数值域与最值的方法也是琳自变量满足哪些限制条件，如：多个自变量之琅满目，如配方法，消元法、判别式法、构造间是互不影响的独立关系还是具有互相牵制法、不等式法、代换法、冻结变量法等等，研究的约束关系；是等量关系还是不等关系；自变相关解法、技巧的文献资料用浩如烟海来形量的取值是连续的实数还是离散的整数．还容决不为过．笔者根据自己的教学实践和思要关注对应法则的特征，如分式函数、线性函考，对某些求解方法和策略谈谈自己的一些数、元的次数等等．想法．2消元法使用过程中出现的繁杂情境1不能忽视多元函数定义解答多元函数问题困难的根本原因在于设D为一个非空的元有序数组的集它的多元，因此化多元函数为一

3、元函数是解合，为某一确定的对应规则．若对于每一个决多元函数问题的重要途径之一．消元法实有序数组(z，Iz2，⋯，z)∈D，通过对应规则际上是数学中转化与化归思想的一种体现．厂，都有唯一确定的实数Y与之对应，则称对但是，在平时解答多元函数问题时，会遇到以应规则厂为定义在D上的元函数，记为Y下情境的困扰：一(1，2，⋯，z)，(z1，2，⋯，z)∈D．变2．1向一元函数转化时，是使用现有变量。量，z，⋯，称为自变量，Y称为因变量．还是另外引进变量当一1时，为一元例l已知函数厂()一1。+2z一1I，函数，记为Y一厂(z)，z若n<6<一1，且厂(n)一．厂(6)，贝q口6+n+6∈D；当一

4、2时，为二的取值范围是——．元函数，记为—f(x，解题分析函数n6+口+b是关于自变y)，(z，)∈D，如图1量n，b的二元函数，由函数=，()的图像图1所示．二元及以上的函(图略)得，数统称为多元函数．n<一1<6<一1，数学应该以概念和公理为基，依照数学且n+2口一1—1—26—，作者简介：戴定华(1983一)。男，江苏宜兴人，学士．E-mail：ddhua2005@126．tom第33卷第1期2014年1月数学教学研究53即(n+1)+(6+1)。一4．_c0ScOs2A+sin警sin2A根据这些已知条件，若考虑用消元法，可令1===c。s2A一譬sin2A，fa+1—2cos

5、0，I6+1—2sin0，抖4—2(一sin2A+3coS2A)则n6+口+6一(n+1)(6-4-1)一1=4sin0cos一1=2sin2一1．一4A-2~／3sin2A一号)，又注意到：因为A，BE(o，号)，所以n<一一1<6<一1，导致A∈，号)，sin(2A一号)∈(，]，c。s一，一

6、I告，21，’(1)求角C大小；(2)当c=l时，求口。+6的取值范围．解题分析第1问求得角C为詈，在第2问中，要求二元函数口。+62的值域．在锐角／XABC中，由正弦定理知：a—sin—A一i而b一sinC2，sinB’将边向角转化：厂(一z+丢，厂(一2～，n一2sinA，b=2sinB，n。+6=4(sinzA-4-sin2B)(+丢)，=4-2(cos2A+COS2B)，观察图像可得，当z。一1时，有又A+B一，得z+一2一{，z：==焦B一0一A，2B=警J一2A，2，COS2B=c。s(一2A)所以的取值范围是j，1)．数学教学研究第33卷第1期2014年1月厂()一z，即

7、为z+(￡一1)z+t=O，因此它：KF(x1)在f4z21，1)上单调递增，所．L一应满足如下条件：ft=2&O，以F(X1)∈I，IA=(t-1)-4t2一一(3t-1)(t+1)>0，<本解法没有另外引进变量，但必须慎重In+b-_1一￡，考虑变量z的取值范围，对于变量满足【口6一>O，的条件要考虑全面，不能遗漏，更要注意等价f一1<<吉且≠0，转化，防止不等价转化导致范围放大或偏小．即{}n+6一卜，2．3转化时较困难的情境有些问题在使