常见二元与多元分式函数最值求解策略

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常见二元与多元分式函数最值问题的求解策略高中数学组何勇一元，二元甚至多元函数的最值问题在数学高考和数学竞赛中屡见不鲜，此类题目往往山于出题者的独具匠心，使得学生很难直接把握题冃的特征。求解此类最值问题主要有两类方法一是函数方法，即将问题转化为二次函数，三角函数，分式函数的最值问题，二是不等式的方法，即使用配凑、拆分、待定系数等手段，以下简举儿例，以作探讨。1•直接利用不等式求解类型例1.(2009重庆卷文)已知d〉0,b〉0,则丄+丄+2丁矗的最小值是()abA・2B.2>/2C.4D.5分析：因为-+-+2>2J—+2^h=2(J—+>4当且仅当丄二丄，且abVabVababJ—=yfcib,即a=b时，取"二”号，故选c。ab2例2.(2008江苏卷11)已知兀,”zw/T,x—2y+3z=0,则丄的最小值・分析:直接消元可得>,2(兀+3M+1/X.9j<、、1小“9j<、々*o—===—(―+—+6)>—(2J+6)=3,当x=y=3z吋xz4xz4xz4zx4zx取等，所以丄的最小值为3。点评：在近儿年的高考数学中，利用均值不等式求解分式最值类型题目较常见，处理的方式也较直接，一是直接用均值不等式，一是直接消元。2.齐一次分式型结构例3.x,ye/?+,则M=—^+」一的最小值为。x+2yy+2x2分析：M(x,y)为兀,y的轮换对称式，猜想x=y时的最小值为一，M(x,y)具有齐一次分式的结构，尝试是否町以将M(兀,y)转换成一次分式函数的最值法一:兀+y_1兀+2yy+2兀X2+2(3)+斗通分一令心丄+仝2匕»乞—岸匚兀y5+2/y兀y2+2r32可得“卫r-齐宕在12,+Q上单调递增，当,2时，函数有最小值亍 法二由于M(x,y)具有齐一次分式的结构，尝试将M(兀,y)进行变形，以期出现倒数结构,再利用均值不等式求解最值，考虑在分子上配凑分母3x3y_2(y+2x)-(x+2y)(2(2y+x)-(2x+y)=+3M=+x+2yy+2xx+2yy+2x=2(些+心)_2x+2yy+2x可得3M>22化空勺土-2=2，所以M(兀,y)有最小值-,当上也=勺出即+y+2兀3x+2yy+2xx=y时取得。点评：在此例小，明显的法二更加具有技巧性，需要学生敏锐的观察出两个分母与分子的关系。3•二元齐二次分式型结构先看一个较简单的题目：例4.(2011镇江高三期末改)不等式a2+3b2>"(a+〃)对任意a#e/T恒成立，则实数2的最大值为o22r°法一：先分离参数，恒有仁"+3",可见=g竺为齐二次分式型，所以b(a+b)b(a+b)22(3)2+32M=心竺分子分母同除以bW=—令心纟+1>MJI*4h(a+h)k—+[bt~b4口=>M=/+--2>2Jr--2=2,易知a=b时取等。法二同法一恒有兄="+3",注意观察分母中的心/,和分子中的“3”，将“3”b(a+b)ab+b^进行拆分,/+决+2决ab+h2>2ab+2b2~ab+b2易知a=b时収等。再看一个较困难的：例5.(2011•湖北重点中学二联)对一切xe/?,/(x)=ax2+bx+c(a0^>b>a>0b2一4ac<0^>b2<4ac分析：由题意恒冇/(兀)=处2+分+。》0,首先由于a—，由问题结构°+"+c将分了中的C进行放4ab-a zb24a2+4ah+b24a(b—a)丄八“4/+4肪+/?~冋题则转化为求解M=4a(h-a)Q+b+cd++4d缩可得>h-ab-a的最小值。〃+6『+9_4r4/+4必+庆4+4(?)+(『hM==7令/=一一1>0M4d(b_d)4(--1)aM=f+6Z+9=-(r+-+6)>3,当b=c=4a时取得。4t4t法二：MhMT4"4；少=1+8"+戸,类似于问题一的分析合理“配凑”,4cib—4c「4ab-4a“t%2+决16/+^—8/2y/16a2b2-8a2,Sab-Sa2oA/=1=1H>1H=1H=3,4^/7-4a24ab-4a2~4ab-4a24ab-4a2当b=c=4a吋取得。点评：以上三问均具有齐次分式的结构，法一将问题转化为分式型函数求最值的模式，解答较为直接；而法二对学生的能力提出了更高的要求，特别是在将问题如何转化为“积定”与“和定”结构时，需要学生对代数式进行合理的拆分、配凑。4.二元或多元高次分式型结构例6.(2010±海新知杯11笫(2)问改)若实数。使得对于任意实数xpx2,x3,x4e7?+,不2222等式禹+兀2+禺+£亠都成立，求q的最大值。XjX2+x2x3+x3x4分析：由分式结构考虑将x22,x32进行拆分，待定常数£w(0,l),使得x^~+兀2_+兀3-+兀4~二(召_+kxf)+(1_+兀3~)+(kXg-+x4~)'2仮兀丿2+2(1-R)兀2^3+2叹兀3兀4，令联=-k,解得y[k=—~-,故2+x^~+x^~+x^~n(5/5—1)(X|+x2x3+x3x4),可得。的最大值为V5-1,J5-1当兀2=兀3=1,西=兀4=—-—时取得。点评：在此例中，解题时较明显的感觉应将分子进行“配凑”，但如何配凑以期出现分母直接观察是比较困难的，考虑待定系数的手段。练习： (1)2x+2y/3xy3(2)(2010高考重庆理数)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.3提示：由x+2y+2xy=8解出y代入x+2y消元变成二次分式型函数求解答案：B(3)(2011重庆一中高一期中)设二次函数f(x)=ax2-4x+c的值域为［0,+oo),并且19——+^—0419提示：由已知条件得彳,将d二一代入——+变成二次分式型函数求解ac=4cc+1a+9答案冷(4)则尹字冷的最大值为捉示：待定系数：在xy+2yz上乘以2,以期岀现^xy+2Ayz