经济数学基础(顾静相)teaching_02_02.ppt

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1、2.2.1导数的四则运算法则2.2.2复合函数的导数2.2.3隐函数的导数2.2.4取对数求导法2.2.5导数基本公式2.2导数基本公式与运算法则设函数　　和　　在点　处可导，则在点　处也可导，且．(2.2.2)．(2.2.1)设函数　　和　　在点　处可导，则在点　处也可导，且2.2.1导数的四则运算法则1.代数和的导数2.乘积的导数返回1/45下一页下一页上一页上一页3.商的导数上面的公式对于有限多个可导函数成立，例如：．(2.2.4)特别地，当其中有一个函数为常数　时，则有．(2.2.3)2.2.1导数的四则运算法则返回2/45上一页上一页下一页下一页.

2、(2.2.5)设函数　　和　　在点　处可导，且，，则　　　　在点　处也可导，且2.2.1导数的四则运算法则返回3/45上一页上一页下一页下一页证设对应于自变量的改变量　　，函数、　分别取得改变量　　和　　，于是函数的改变量为：，，2.2.1导数的四则运算法则返回4/45上一页上一页下一页下一页证明乘积的导数公式．由函数　　和　　在点　处可导，得，，则．2.2.1导数的四则运算法则返回5/45上一页上一页下一页下一页例1设　　　　　　　　　　　，求　．解．2.2.1导数的四则运算法则返回6/45上一页上一页下一页下一页．2.2.1导数的四则运算法则返回7/45

3、上一页上一页下一页下一页例2设　　　　　　　　　　　，求　．解例3设　　　　　　，求　．解．2.2.1导数的四则运算法则返回8/45上一页上一页下一页下一页例4已知　　　　　　　，求　　．．解，2.2.1导数的四则运算法则返回9/45上一页上一页下一页下一页例5设　　　　　　　　，求　．于是．，解先化简，得2.2.1导数的四则运算法则返回10/45上一页上一页下一页下一页例6求　　　　的导数．解因为　　　　　，所以，即．2.2.1导数的四则运算法则返回11/45上一页上一页下一页下一页用同样方法可以得到．2.2.1导数的四则运算法则返回12/45上一页上一页

4、下一页下一页是一个复合函数，它可以看作是由　　　　及　　　　复合而成的．我们用定义求出它的导数．，而，2.2.2复合函数的导数返回13/45上一页上一页下一页下一页则2.2.2复合函数的导数返回14/45上一页上一页下一页下一页．2.2.2复合函数的导数返回15/45上一页上一页下一页下一页(2.2.6)2.2.2复合函数的导数返回16/45上一页上一页下一页下一页定理2.2设函数　　　　在点　处有导数　　　　　，函数　　　　在点　处有导数　　　　　，则复合函数　　　　　在该点　也有导数，且(2.2.8).或证设自变量　在点　处取得改变量　，中间变量　则取得

5、相应改变量　，从而函数　取得改变量　．当　　　时，有，2.2.2复合函数的导数返回17/45上一页上一页下一页下一页(2.2.7)或又因为　　　　在点　处可导，则在点　处必连续，即，．当　　　时，可以证明上式仍成立．2.2.2复合函数的导数返回18/45上一页上一页下一页下一页于是例7求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).2.2.2复合函数的导数返回19/45上一页上一页下一页下一页解(1)设　　　　，　　　由定理2.2得；(2)设　　　，　　　　由定理2.2得；(3)设　　　，　　　　由定理2.2得；2.2.2复合函数的

6、导数返回20/45上一页上一页下一页下一页(4)设　　　　　，　　　则；(5)设　　　　　，　　　则；2.2.2复合函数的导数返回21/45上一页上一页下一页下一页(7)设　　　　，　　　，则．2.2.2复合函数的导数返回22/45上一页上一页下一页下一页(6)设　　　　　，　　　则.定理2.2的结论可以推广到多层次复合的情况．例如设　　　　，　　　　，　　　，则复合函　　　　　　　数的导数为(2.2.9)2.2.2复合函数的导数返回23/45上一页上一页下一页下一页例8求下列函数的导数：(3)．(1)；(2)；2.2.2复合函数的导数返回24/45上一页上

7、一页下一页下一页解(1)设　　　，　　　，　　由定理2.2得；返回25/45上一页上一页下一页下一页2.2.2复合函数的导数；(2)．2.2.2复合函数的导数返回26/45上一页上一页下一页下一页(3)例9求下列函数的导数：(1)；(2)．解(1)；2.2.2复合函数的导数返回27/45上一页上一页下一页下一页(2)．2.2.2复合函数的导数返回28/45上一页上一页下一页下一页例10求函数　　　　　　的导数．，则．解由对数性质，有2.2.2复合函数的导数返回29/45上一页上一页下一页下一页证利用对数的性质我们将函数写成指数式2.2.2复合函数的导数返回3

8、0/45上一页上一页下一页下一页令　　　　，则