2019_2020学年高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算学案新人教B版.docx

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1、6．2.3　平面向量的坐标及其运算考点学习目标核心素养向量的正交分解了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示数学抽象平面向量的坐标理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则数学抽象、数学运算两种坐标的区别掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系数学抽象向量共线能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法逻辑推理、数学建模问题导学预习教材P160－P166的内容，思考以下问题：1．两个向量垂直如何定义？2．一个向量如何正交分解？3．向量的坐标定义是什么？4．如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐

2、标？5．如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？1．平面向量的坐标平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时，如果平面上一点

3、A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量对应的坐标也为(x，y)，即＝(x，y)；反之结论也成立．2．平面上向量的运算与坐标的关系设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)．如果向量a＝(x，y)，则

4、a

5、＝．■名师点拨(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(2)当向量确定以后，向量的坐标就是

6、唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．3．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则＝(x2－x1，y2－y1)；AB＝

7、

8、＝．设线段AB中点为M(x，y)，则4．向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2．■名师点拨两向量的对应坐标成比例，这种形式较易记忆，而且不易出现搭配错误．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若O为坐标原点，＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．(　　)(2)若点A的坐标为(2，－1)，则

9、以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．(　　)(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．(　　)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0，则＝.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)A.　　　　　B.C．(－8，1)D．(8，1)解析：选A.＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)，＝.下列各对向量中，共线的是(　　)A．a＝(2，3)，b＝(3，－2)　　B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)C．a＝(，－1)，b＝(1，)D．a＝(1，)，b＝(，2

10、)解析：选D.A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝a，两个向量共线．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．解析：因为a∥b，所以＝，解得y＝－4.答案：－4平面向量的坐标表示　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标．【解】　(1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos45°＝4×＝2，AM＝OA·sin45°＝4×＝2，所以A(2，2)，故a＝(2，2)．

11、因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，所以C，所以＝＝，即b＝.(2)＝－＝.(3)因为＝＋＝(2，2)＋＝.所以点B的坐标为(2－，2＋)．平面内求点、向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点的坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．　　已知O是坐标原点，点A在第一象限，

12、

13、＝4，∠xOA＝60°.(1)求向量的坐标；(2)若B(，－1)，求的

14、坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos60°＝2，y＝4sin60°＝6，即A(2，6)，所以＝(