高中数学第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理6.2.2直线上向量的坐标及其运算学案新人教B版.docx

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1、6．2.1　向量基本定理6．2.2　直线上向量的坐标及其运算考点学习目标核心素养共线向量基本定理掌握共线向量基本定理数学抽象、数学运算平面向量基本定理理解平面向量基本定理数学抽象、数学运算向量的应用两定理的熟练应用数学建模、逻辑推理直线上向量的坐标及其运算理解直线上向量的坐标的含义及其运算数学抽象，数学运算问题导学预习教材P152－P159的内容，思考以下问题：1．共线向量基本定理是怎样表述的？2．用向量证明三点共线有哪些方法？3．平面向量基本定理的内容是什么？4．如何定义平面向量基底？5．实数与直线上的向量建立了什么关系？1．共线向量基本定理如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使

2、得b＝λa．由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ．2．平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb．平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．■名师点拨(1)a，b是同一平面内的两个不共线向量．(2)该平面内任意向量c都可以用a，b线性表示，且这种表示是唯一的．(3)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．

3、3．直线上向量的坐标给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．当x>0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x<0时，a的方向与e的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．4．直线上向量的运算与坐标的关系假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔x1＝x2;__a＋b＝(x1＋x2)e．如果u，v是两个实数，那么ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，ua－vb的坐标为ux1－vx

4、2．设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则＝x1e，＝x2e，因此，＝－＝x2e－x1e＝(x2－x1)e．AB＝

5、

6、＝

7、x2－x1

8、．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　　)(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．(　　)(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×如果向量a与向量b不平行，则与a，b都不平行的向量是(　　)A．3a＋2b　　

9、　　　　　　　B．2aC．－aD．－3b答案：A数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1，2，5，则(　　)A.的坐标为－3B.的坐标为3C.的坐标为－6D.的坐标为－3答案：B如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．解析：由题图可知，＝4e1＋3e2.答案：4e1＋3e2共线向量基本定理　已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否共线？【解】　若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n)．因为m，n不共线，所以因为不存在λ同时满足此方程组，所以a与b不共线．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量

10、共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．　　设非零向量e1和e2不共线，是否存在实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线？解：设ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.因为e1与e2不共线，所以只能有则k＝±1.用基底表示向量　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.【解】　由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.所以＝＋＝－＝a－b

11、，＝＋＝a＋b.将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　　如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以a，b为基底表示，，.解：因为AD∥BC，且AD＝BC，所以＝＝b.因为E为AD的中点，所以＝＝＝b.因为＝，所以＝b，所以＝