2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算学案新人教A版.docx

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1、6．2.3　向量的数乘运算考点学习目标核心素养向量数乘运算的定义及运算律理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、直观想象向量共线定理掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线逻辑推理问题导学预习教材P13－P16的内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、．(2)当λ＞

8、0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．■名师点拨λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a．(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．3．向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．(2)向量a(a≠0)与b共线的

9、充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．■名师点拨若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　)(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．(　　)(3)若ma＝mb，则a＝b.(　　)(4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)A．a－2b　　　　　　　　　　B．aC．

10、a－6b　　　D．a－8b答案：D若

11、a

12、＝1，

13、b

14、＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　)A．b＝2aB．b＝－2aC．a＝2bD．a＝－2b答案：A在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形的形状是________．答案：梯形向量的线性运算　(1)计算：①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；③.(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．【解】　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.③原式＝＝＝a－b.(

15、2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j.向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　1．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________

16、．解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝(－＋)a＋(－－＋)b＝0a＋0b＝0＋0＝0.答案：02．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x.解：因为2x－a－b－c＋x＋b＝0，所以x－a＋b－c＝0，所以x＝a－b＋c，所以x＝a－b＋c.向量共线定理及其应用　已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．【解】　(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(

17、e1＋e2)＝5.所以，共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k＝±1.向量共线定理的应用(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．　(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．　已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－

18、3a)共线，则λ＝________．解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得答案：－用已知向