2019_2020学年高中数学第六章平面向量初步6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算学案新人教B版.docx

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1、6．1.4　数乘向量6．1.5　向量的线性运算考点学习目标核心素养数乘向量了解数乘向量的概念并理解数乘向量的几何意义数学抽象向量的运算律理解并掌握向量的混合运算，会进行向量的线性运算数学运算问题导学预习教材P145－P150的内容，思考以下问题：1．向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？2．数乘向量的定义及其几何意义是什么？3．向量线性运算满足哪些运算律？1．数乘向量一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：(1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为

2、λ

3、

4、a

5、，而且λa的方向如下：①当λ

6、>0时，与a的方向相同；②当λ<0时，与a的方向相反．(2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．当λ和μ都是实数时有λ(μa)＝(λμ)a．数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a．■名师点拨(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.2．向量的线性运算(1)向量的加法与数乘向量的混合运算一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a．一般地，对于任意实数λ，以及向量

7、a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb．(2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.(　　)(2)当λ＞0时，

8、λa

9、＝λa.(　　)(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×已知点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是(　　)A.＝3　　　　　　　B.＝2C.＝D.＝2解析：选D.由题意可知，＝－3；＝－2＝2.故只有D正确．设四边形ABCD中，有＝且

10、

11、＝

12、

13、，

14、则这个四边形是(　　)A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形答案：C如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．解析：由向量加法的平行四边形法则知＋＝.又因为O是AC的中点，所以AC＝2AO，所以＝2，所以＋＝2，所以λ＝2.答案：2向量的线性运算　(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．(2)化简下列各式：①3(6a＋b)－9；②[(3a＋2b)－]－2；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.【解】　(1)由已知得3x＋3a＋2x－4

15、a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.故填4b－3a.(2)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.向量线性运算的方法(1)向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意

16、观察，恰当运用运算律，简化运算．　1．化简.解：原式＝＝＝＝a－b.2．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.解：由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.利用已知向量表示相关向量　(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)A.a－b　　　　　　B.a＋bC．a＋bD．a－b(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝

17、b，试用a，b分别表示，，.【解】　(1)选D.＝＋＝＋＝－＝a－b.(2)由三角形中位线定理，知DE綉BC，故＝，即＝a.＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.[变条件，变问法]在本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示.解：因为DG∥AB，所以△DFG∽△BFA，又因为DF＝OD＝×BD＝BD，所以＝＝，所以＝＋＝＋＝a＋b.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于

18、所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．　　如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.解：＝＝＝(－)＝(a－