高中数学第二章平面向量21向量的线性运算214数乘向量学案新人教b版必修

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1、2.1.4数乘向量知识能力目标引航/基础知识1.掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义.（重点）2/掌握数乘石量的运算律.（难点）3.了解向量线性运算的性质及其儿何意义.（易混点）基本能力1.会区分实数的乘法与数乘.（难点）2.能灵活运用向量的线性运算解决相关问题•（重点、易错点）自主预习精细梳理->

2、ZIZHUYUXIJINGXISHULI1.数乘向量⑴实数入和向量0的乘积是一个向量,记作久⑦且心的长丨心I=1A\a.若0工0,当久＞0时，久日的方向与爲的方向相同;当久＜0时，久日的方向与日的方向相反.当/I=0或时，0&=2_或久0=0（2）向量数乘的儿何意

3、义：抱向塑£沿着日的方向或日的反方向放人或缩小.（3）数乘向量的运算律.设入，"为实数，则①（久+〃）£=心+“日；②A（//a）=（Aa；③久（a+b）=+Ab.名师点拨（1）数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数.特别要注意人=0时，久日=0,此处最容易出现的错误是将实数0与向量0混淆，错误地表述成久日=0.（2）要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如A+a,A-a是无意义的.【自主测试1—1】化简（一2）•3加一4（刀一2加）的结果为（）A.—1410—4nB.-62Z7-4/7C.2/ff—4nD・4刀+2血

4、解析：原式=—6矿-4刀+8刃=2加一4〃.答案：c【白主测试1—2】若a=3,方与$的方向相反，且“1=5,贝！J◎=b.3解析:•:b与2的方向相反，且

5、引节

6、方I,心43答案：飞2.向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向暈的综合运算，通常叫做向暈的线性运算.❼思考向量的线性运算有哪几种？与以前所学的实数和代数式的运算有何关系？答：（1）向量的线性运算包括向量的加法、减法、实数与向量的枳.2向量线性运算的结果是向量，实数和代数式运算的结果是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但意义却截然不同.因此，在类比实数的运算律学习向量的有关运算律吋务必经过严格

7、证明后才可使用.【自主测试2-1］已知仙是'ABC的边％上的中线，若~AB=a,~AC=b,则确于（）A.b）B.£）C.*（日+方）D.—^（a+A）答案：C［自主测试2-2］已知乔=彳旋庞三彳花，则庞'=~BC.答案：

8、课堂互动深入探究T

9、kETAZGHUDOZGSHENRUTANJIU1.数乘向量的几何意义剖析：人a的儿何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放人或缩小•具体如下:A>11川<1A>1久V—10<久<1-1

10、到人a2.教材中的“思考与讨论”把教材例3中的数3改为任意实数斤，你是否还能解这个问题？冋想一下初中学过的相似三角形的判定定理，例3的结论与判定定理有什么关系？剖析：若刃=maF=kAB,则屈=刃+Af~Bf=kdi+l^AB=k（0A+7B）=WB,所以屈与赦线，Off的长度是励的I川倍.典型考题这一结论可以认为是三角形判定定理的向量形式，其反映的本质是一样的.名师点拨->

11、diANXINGKAOTIMINGSHIDIANBO题型一概念辨析题【例题1】已知日，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由.⑴一22与8是共线向量，且一2a的模是2的模的2倍；

12、3(2)3爲与52的方向相同,且3d的模是5册模的了(3)—2a与2a是一对相反向量；⑷a_b与一(b—金是一对相反向量.分析：根据数乘向量与相反向量的定义进行判断.解：(1)真命题.理由：・.・一2<0,・・・一2日与$的方向相反，两向量共线.又I—2a=2a,A—2a的模是日的模的2倍.(2)真命题.理由:V3>0,.•.3a与a的方向相同,且

13、3a

14、=3

15、a

16、・V5>0,・・.5a与a的方向相同,fi

17、5a

18、=5

19、a

20、.A3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的寻(3)真命题.理由：按照相反向量的定义可以判断此命题为真命题.(4)假命题.理由：T—

21、(Z>—$)=—方+日=◎—〃，••a~b与一(b—a)为相等的向量.反思在解答本题的过程中，易把a~b与一(b—Q当作相反向量，导致此种错误的原因是不能正确运用向量的运算律进行转化.题型二向量的线性运算【例题2】(1)计算:8(2a—b~~c)—6(a—2b+c)—2(2a+c)；(2)解方程(x~a)—la—x—26)=0.解：(1)原式=16^—86+8c—6日+125—6c—4$—2c=(16—6—4)a+(—8+12)b~~(8—6—2)c=6a+4&(2)原式可化为x—$+at+2Z>=0,2x—2力+2&=0,x=a~b.反思向量的线性运算及解含

22、未知向量的