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《高中数学第二章平面向量21向量的线性运算214向量数乘课堂导学案新人教b版必修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.1.4向量数乘课堂导学三点剖析一、向量数乘的概念及几何意义1.对向量数乘定义的理解注意:①入a中的实数，叫做向量a的系数.②关于对向量数乘"的理解:我们可以把向量a的长度扩大(当丨X
2、>1)吋，也可以缩小(当丨入丨〈1时)，同时可以不改变向量a的方向(当入>0时)，也可以改变向量a的方向(当X<0时).③向量数乘的特殊情况：当入二0时，入a二0,而入H0,若a二0,也有入a二0.④实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如X+a,入-a就无法运算.2.向量数乘的几何意义向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.【例1】已知a,b是两个非零向量，判
3、断下列各命题的真假,并说明理由.(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；2(2)-2a的方向与5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的一;5(3)-2a与2a是一■对相反向量；(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量；(5)若a,b不共线，则0a与b不共线.思路分析:利用入a中入的作用.解：⑴真命题.・・・2>0,・・・2a与a同向，且
4、2a
5、=2
6、a
7、.(2)真命题・・・・5〉0,・・・5a与a同向，且
8、5a
9、=5
10、a
11、.-2<0,A-2a与a反向，且
12、-2a
13、=2
14、a
15、.2/.-2a与5a反向，且
16、-2a
17、=-
18、5a
19、.3(3)真命题.(4)假命题.-(
20、b~a)=-b+a=a_b.(5)假命题.TOa二0,0与任一向量共线.温馨提示对数乘运算的理解，关键是对数的作用的认识，入〉0时，入a与a同向，模是
21、a
22、的X倍；入〈0吋，入a与a反向，模是
23、a
24、的-X倍；入=0吋，Xa二0.各个击破类题演练1如图(1),已知非零向量a,求作向量2a,—a,-3a,--a.23思路分析:据向量数乘的定义作出图形即可.2a作法:将向量a依次同向伸长到原来的2倍，同向缩短到原来的一倍，反向伸长到原来的3倍,2反向缩短到原来的丄倍,得到图(2).3变式提升1已知点C在线段AB的延长线上，且—AC4(1)用BC表示AB；(2)用CB表示AC.思路分
25、析:本例已知屮没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此，解答此类问题，要把握好从单一的长度要素向长度，方向双重要素的过渡.解:如图①，由己知，点C在线段AB的延长线上，且——=-,AC4AD3•••=一,解得AB=3BC・AB+BC4同理，可得AC二4CB.•■•••■■_ABCABCABC①②③(1)如图②，向量AB与BC的方向相同，所以AB=3BC.⑵如图③，向量AC与CB的方向相反，所以AC=-4CB.温馨提示确定向量，有两个方面的要求，一是指出向量的方向；二是指出向量的大小.二、向量数乘的运算律及应用设x,u为实数，则(1)(X+Li)a=Xa+ua;⑵入(na)
26、=(A.u)a;(3)X(a+b)=Xa+Xb(分配律).【例2】设x,y为未知向量.(1)解方程5(x+a)+3(x-b)=0;~x~y=^(2)解方程组x-—y=b2?解：(1)原方程可化为5x+5a+3x~3b二0,・・・8x+5a-3b=0.・・35・：8x二3b一5a.・*.x=—b-—a.88lx-y=0,(1)x-^y=b.(2)①X2-②得(x-2y)-(x-—y)二2a-b,2y—2a-b.2・2k4・・y二—b~—a.23一124代入①得一x二a+—b-—a,233・o4k84l2・・x=2a+—b~—a=—b~—a.3333类题演练2化简下列各式：(1)
27、—[丄(2a+8b)-(4a-2b)];32211(2)—[(4a-3b)+—b-一(6a-7b)].334解：(1)原式二一(a+4b-4a+2b)二一[(1-4)a+(4+2)b]33=—(~3a+6b)=2b~a；32137(2)原式二一(4a-3b+—b-一a+—b)33242317=—[(4-—)a+(~3+—+—)b]3234=2(5a_llb)=5a_llb3212318温馨提示(1)实数与向量积的运算问题，必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算.(2)实数与向量的积的运算,可对照实数与单项式的运算进行.变式提升2将丄[2(2a+8b)-4(4a~2b)]
28、化简成最简式为()12A.2a_bB.2b~aC.a_bD.b_a思路分析:这是关于实数与向量的积的有关运算问题，只需按照实数和向量的积所满足的运算律进行运算即可.解：原式二一(4a+16b-16a+8b)12=—r(4-16)a+(16+8)b]=-a+2b二2b-a.・・・应选B.答案:B三、向量的线性运算向量的加法，减法和实数与向量积的综合运算，通常叫做向量的线性运算（或线性组合）.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们说这个向量c可以用另一些向量线性表示，如2a,-3a,-丄a都是a的
