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《高中数学第二章平面向量21向量的线性运算214数乘向量示范教案新人教b版必修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.1.4向量数乘示范教案整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广与简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错.尤其是定理的前提条件：向量日是非冬向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着密切的联系.三维目标1.通过经历探究数乘运算法则及儿何意义的过程；掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的儿何意义；
2、掌握实数与向量的积的运算律.2.通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用.重点难点教学重点：1.理解数乘向暈所表达的儿何意义；2.理解并掌握向量的线性运算.教学难点：数乘向量分配律所表达的几何意义.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比引入)我们知道，平面几何中的全等与平行的问题，与向量加法及其运算律有着密切的联系，在几何中，一个重要问题是研讨图象的“放大”“缩小”和相似性质•我们是否也能用向量的某种运算去研究呢？由此展开新课.思路2.—物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a
3、,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3日吗？怎样用图形表示？由此展开新课.推进新课新知探究提岀问题1已知非零向量试一试你能作出a+a+a^W—a+—a+~a吗?2你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？3引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量Z间的位置关系吗？4数乘向量满足哪些运算律？活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其儿何意义.教师要引导学生特别注意0・a=0,而不是0・a=0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼,但又处处存在，稍不注意就
4、会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如入+曰，入一2都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(X+U)a=xa+Ma和X(a+A)=Xa+X数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同.判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明儿何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.对问题⑴，学生通过作图1可发现，0C=6A+AB+BC=a+a+a类似数的乘法，
5、可把a+a+a记作3日，即0C=3a.显然3a的方向与2的方向相同，3$的长度是£的长度的3倍,即3a/=3/a.同样，由图1可知,a「ara「0»C-a_a-aNMQP图1PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a),即(一司+(—a)+(—a)=3(-£)・显然3(-a)的方向与0的方向相反,3(—a)的长度是曰的长度的3倍，这样，3j=_3a.已知AB(图2),把线段AB三等分,—1—2——2—AP=-AB,AQ=-AB,BP=_§AB.由上述分析，我们引出数乘向量的一般定义：定义实数入和向量$的乘积是一个向量，记作入且入日的长度
6、入引=丨入\a.a(a^O)
7、的方向当入＞0时,与日同力向;当入〈0时,与日反方向.当入=0或8=0时，0a=0或X0=0（图3）.图3入$中的实数入，叫做向量曰的系数.数乘向量的儿何意义就是把向量日沿着$的方向或日的反方向放大或缩小.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证数乘向量运算满足下面的运算律.设入、》为实数，那么①入(u曰)=(入u)a；②(入+口)日=入$+口日；①X(a+b)=a+b(分配律).特别地，我们有(―X)a=—(Xa)=X(—a),X(a—Z>)=a—b.对问题(3),向量共线的等价条件是：如果日3H0)与b共线，那么有且只有一个实数入，使b=a.推证过程教师可引导学生自己完
8、成，推证过程如下：对于向量£(曰工0)、b,如果有一个实数入，使b=a,那么由向量数乘的定义，知日与〃共线.反过来，已知向量自与b共线，aHO,且向量b的长度是向量日的长度的u倍，即
9、引=»
10、$
11、,那么当日与b同方向时，有b=Pa；当日与〃反方向时，有b—~a.关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉日H0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个
