线代线性代数11试卷A201305答案.doc

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1、命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学　线性代数Ⅱ课程试卷juan2012~2013学年第2学期开课学院：数统学院课程号：10025520考试日期：201305考试时间：120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、填空题（每小题3分，共18分）1．若都是四维列向量，且四阶行列式，，则2．设为阶方阵，为的伴随矩阵，且，则3．已知方阵满足,则.4．已知维向量组线性无关，是的线性组合，则向量空间的维数是.5．设为阶方阵，为的伴随矩阵，，则的基础解系所含的解向量个数为

2、.6．若阶可逆方阵的每行元素之和均为则数一定是矩阵的特征值。　二、单项选择题（每小题３分，共18分）1．设均为阶正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是【D】A．;B．;C．;D．.2．设是矩阵，则有【D】A．当时，有无穷多解；B．当时，有非零解，且基础解系含个解向量；Ｃ.若有阶子式不为零，则有唯一解；D．若有阶子式不为零，则仅有零解．3．是阶矩阵的特征值，且齐次线性方程组的基础解系为，则的全部属于的特征向量为【C】A．和B．或C．不全为零）D．全不为零）.4．设，且的特征值为，则为【B】A．;B．;C．;D．5．设向量组和为两个维向量组，且，则

3、【C】A．两向量组等价；B．；C．当被线性表出时，也可由线性表出；D．当时两向量组等价.6．设矩阵为阶矩阵,则矩阵中【A】A．必有一列向量是其余向量的线性组合；B．必有2列元素对应成比例；C．必有一列元素全为0；D．任意一列向量都是其余列向量的线性组合。三、计算题（一）（每小题8分，共24分）1．计算行列式的值．2．设四阶矩阵,且矩阵满足关系式，其中为四阶单位阵，将上述关系式化简，并求矩阵解:，且可逆，故。，其中，故3．设矩阵，求矩阵的秩，并求该矩阵列向量组的最大无关组。解：对作初等行变换化为行阶梯形：，为一组最大无关组。四、计算题（二）（

4、每小题12分，共24分）1．当取何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷解？有无穷多解时求其通解。解：(1)当时,方程有唯一解.(2)当时,从而,故方程组无解.(3)当时,,故,有无穷解,通解为2．设矩阵，求一个正交矩阵，使得为对角阵。解:，A的特征值为对应的特征向量为对应的特征向量为三向量已正交，只需单位化。故正交阵，使五、证明题（共16分，第1、2题各5分,第3小题6分）1．设是齐次线性方程组的一个基础解系，证明：也是齐次线性方程组的一个基础解系。证明:(1)先证是解。由已知，故，其余同理。（2）再证线性无关因，且式中后一矩阵可逆，由线

5、性无关，知线性无关，故为基础解系。2．已知都是阶矩阵，且可逆，证明与有相同的特征值。证明1：因，故与相似，从而与有相同的特征值。证明2：设是特征值，则。注意可逆，从而故与有相同的特征值。证明3：设是的特征值，对应的特征向量为，即有故也是的特征值。3.已知都是阶正交矩阵，若，证明证明：由已知，故，从而