线代线性代数A201311试卷答案.doc

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1、命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学线性代数课程试卷juan2013~2014学年第1学期开课学院：数学学院课程号：考试日期：20131124考试时间：120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、填空题（每小题3分，共18分）1．设为三阶可逆矩阵，已知的特征值为，为中元素的代数余子式，则2．设，其中互不相同，则线性方程组的解是3．设矩阵，矩阵为三阶非零矩阵，且，则4．已知维向量组线性无关，线性相关，则向量空间的维数是5．设满足，则6．向量组

2、的一组最大无关组是任选两个向量二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设为阶可逆矩阵，的第二行乘以为矩阵，则的【D】为A．第二行乘以B．第二列乘以C．第二行乘以D．第二列乘以2．设向量组线性无关，线性相关，则以下命题中，不一定成立的是【B】A．不能被线性表出B．不能被线性表出C．能被线性表出D．线性相关3．设为4阶方阵，且秩，的伴随阵分别为，则【A】A．1B．2C．3D．44．设为3阶方阵，且，是的伴随阵，则【C】A．B．C．D．5.齐次线性方程组有非零妥的充分必要条件是【D】A．矩阵的行向量组线性无关B．矩阵必有一行向

3、量是其余向量的线性组合C．矩阵的列向量组线性相关D．矩阵必有一列向量是其余向量的线性组合6.设有实二次型，其中二次型的矩阵的特征值之和为，特征值之积为，则【B】A．B．C．D．三、判断题（每小题2分，共10分）（请在括号内填写“对”或者“错”）1．若矩阵满足，则必有，或者（错）2．阶矩阵能够对角化的充分必要条件是：存在个线性无关的特征向量（对）3．若维向量组能由维向量组线性表出，则有（对）4．正交矩阵一定有特征值（错）5．任何实二次型均可以通过正交变换化为标准型（对）四、计算题（一）（每小题8分，共16分）1．设有多项式，

4、求的常数项。解：的常数项即2．设的伴随阵，且，求矩阵解：，用左乘，用右乘得：，即五、计算题（二）（每小题12分，共24分）1．设方程组为，问取何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解？有无穷多个解时，求其通解。解：当时，方程组有唯一解当时，方程组无解当时，，方程组有无穷解其通解为2．设已知线性方程组有解，但不唯一，试求：（1）的值；（2）求正交矩阵使得为对角阵。解：（1）因为有解且不唯一，故当时，，方程组无解当时，，方程组有解且不唯一，故。（2）由得特征值为对应的特征向量为对应的特征向量为对应的特征向量为实对称的属于不同

5、特征值的特征向量已正交，只需将上面三个向量单位化即可。故，使得。六、证明题（14分，每小题7分）1.设为阶矩阵，为维列向量，若存在正整数，使得，但是，证明向量组线性无关。证明：设存在常数使因为，上式左乘得，两边左乘可得，其余同理，故所给向量组线性无关。2．已知是矩阵，其个行向量是齐次线性方程组的基础解系，是阶可逆矩阵，证明：的行向量也是齐次线性方程组的基础解系。证：由已知的行向量是的解,即,则,故的行向量是的解.又由于的行向量是的基础解系,故.并注意可逆,从而有,故的行向量线性无关,且为的基础解系.