线代线性代数答案A0806.doc

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1、线性代数A0806参考答案及评分标准一、填空题(每小题3分,共30分)1.设为的矩阵,其中均为维列向量,已知行列式,则行列式2.设,则3.设三阶矩阵,已知与线性相关,则4.二次型的矩阵是5.设,矩阵,则矩阵6.已知向量组,则此向量组的秩7.设四阶方阵满足条件,则的伴随的一个特征值为8.设,且的特征值为,如果有三个线性无关的特征向量,则9.设四元线性方程组的系数矩阵的秩为,均为此方程组的解,且,则方程组的通解为10.排列的逆序数为二、简答题(每小题4分,共8分)1.设是三阶矩阵,将的第一列与第二列交换得到,再

2、把的第二列加到第三列得到,简单介绍求满足的可逆矩阵的方法,并求出答:因为对作初等列变换,相当于在的右边,乘相应的初等方阵,初等方阵均可逆,所以可逆阵(简答与求各2分)2.设是阶方阵,已知有非零解,对任意的自然数,方程是否也有非零解?为什么?答:必有非零解2分因有非零解,故,从而,所以也有非零解。2分三、计算题(一)(每小题8分,共24分)1.求行列式的值:解:(每步骤各2分)2.已知,且,求矩阵解:显然可逆,由得(3分)因,(3分)故(2分)3.从向量组中选出一组最大无关组,并将其余向量表成最大无关组的线性

3、组合。解:选为最大无关组(也可选其它),则由,得,。(指出正确的最大无关组4分;将其余向量表成最大无关组的线性组合4分)四、计算题(二)(每小题12分,共24分)1.已知线性方程组讨论参数取何值时,方程组有解?无解?当有解时,求出其解。解:(3分)(1)当时,,方程组无解。(3分)(2)当时,,方程组有无穷解。其解为(3分)(3)当时,,方程组有无穷角解。此时其通解为(3分)2.设矩阵有三个线性无关的特征向量,求应满足的条件,并求可逆阵,使为对角矩阵。解:由矩阵的特征多项式得的特征值(4分)对于,方程组应有

4、两个线性无关的解,则。由得(2分)对应的两个线性无关的特征向量为(2分)对应的特征向量为(2分)则令,有(2分)五、证明题(每小题7分,共14分)1.设向量组线性相关,向量组线性无关,证明:(1)能由线性表示;(2)不能由线性表示。证明:(1)因线性无关,故也线性无关,又线性相关,所以能由线性表示。(4分)(2)反证,若能由线性表示,利用(1),则能由线性表示,这与线性无关的已知矛盾。(3分)2.设均为阶方阵,且,证明可逆,并求其逆。证明:(3分)(3分)所以可逆,且(1分)

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