线代习题南理工线性代数试卷2007.doc

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1、2007年5月25(2.5学分)试卷一．是非题(每小题3分,共15分)(下列命题正确的填“是”,错误的填“非”)1.设n阶矩阵A与B均为满秩矩阵，则A+B也为满秩矩阵()2.设Rn的中向量β可由向量组线性表示的充要条件是线性相关()3.若m×n阶矩阵A的列向量组为正交向量组，则齐次线性方程组AX=0(X∈Rn)只有零解()4.设A,B是两个相似的n阶矩阵,则A与B的特征多项式相同()5.n阶(n≥2)实对称矩阵A的顺序主子式全为负数,则A为负定矩阵.()二．填空题(每小题5分,共25分)1.5阶行列式=____

2、_____2.=____________3.t=______时，向量组线性相关4.二次型f(x1,x2,x3)=x12+5x22+6x32-4x1x2-4x1x3是______的(填“正定”、“负定”或“不定”)5.设二阶方阵,则A100=_________三.(8分)求向量组的秩和一个极大线性无关组四.(10分)求解矩阵方程A-1XA=4A+XA,其中A=五.(10分)讨论a,b取何值时，齐次线性方程组有非零解？并在有非零解时，求其通解六.(10分)设实对称矩阵A=,易知A的特征值为试用正交变换X=TY将二次

3、型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3化为标准形七.(12分)已知R3上线性变换s在基底下的矩阵为,求s在基底下的矩阵B八.(8分)设A是n阶矩阵,若存在正整数k(k≥2)使线性方程组AkX=0有非零解α,证明:(1)A不可逆；(2)若则线性无关2007年5月25(2.5学分)答案一．1．非;2.非;3.是;4.是;5.非二1．-12；2.;3.t=9;4.不定;5.七．设由的过渡矩阵为P,则八．(1)假设A可逆,则Ak可逆,从而AkX=0只有零解,与题设矛盾.∴A

4、不可逆(2)令(*)左乘