线代习题南理工线性代数试卷2008.doc

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1、2008年1月(2学分)试卷一．是非题(每小题3分共5分)1．设n阶矩阵A与B合同，则秩A=秩B.()2.若Rn的中任一向量可由向量组线性表示，则是Rn的一组基()3.n阶矩阵A满足A2=A,则必有A=0或A=I(I为单位阵)()4.设是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则,也是AX=0的基础解系()5.设A是n阶方阵，x是Rn中的向量,若Ax=0,则0必为A的一个特征值()二．填空题(每小题5分，共15分)1.l取值______时，线性方程组有唯一解2.向量组的秩=______3.设是3阶方阵A的行列式

2、A

3、=2，则行列

4、式

5、A-1+A*

6、=_____4.由R2中的基到基的过度矩阵P=______5.已知矩阵与相似,则x=____,y=____三.(10分)计算n阶行列式四.(12分)设A，B均为3阶矩阵，已知AB=2A+B，求矩阵A五.(14分)讨论a，b取何值时,方程组有解?并在有解时求出其通解六.(14分)用一正交变换将二次型化为标准形，并求正交变换的矩阵七.(10分)设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，B=A3-5A2证明：(1)B可对角化；(2)求与B相似的对角矩阵2008年1月(2学分)答案一．√√×√×三.原式=3(n-1)=

7、(-1)n-13n(n-1)当a=1,b=-1时方程组有无穷多解得方程组的一般解取x3=x4=0得特解X*=(0,1,0,0)T导出组的一般解取得导出组的基础解系则方程组的通解作正交变换X=QY,二次型的标准形七．证明：1.令特征值所对应的特征向量为，记故B可对角化2.与相似的对角阵为