南京航空航天大学08-09矩阵论答案.doc

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1、矩阵论南京航空航天大学研究生考试参考答案及评分标准共4页第1页二OO八～二OO九学年第1学期课程名称：矩阵论A卷课程编号:A000003参考答案及评分标准制定人：《矩阵论》课程组考试日期:2009年1月13日一、（20分）（1）特征值多项式为---------------3特征值为0，—1（二重）----------------3（2）不变因子-------------6初等因子--------------2最小多项式---------------2（3）Jordan标准形----------------------4二、（20分）（1）-------

2、--2’*4=8（2）证明：(i)因为可逆，则的特征值均非零。设是的任一特征值，是相应的特征向量，则因为是上的相容矩阵范数，则存在与相容的向量范数，从而因为，则。---------6（ii）容易验证：满足相容矩阵范数的四个条件。-----------6共4页第2页三、（20分）（1）的满秩分解为-----------------5---------5（2）因为所以不相容的。-----------3其极小最小二乘通解为-----------3（3）因为是不相容线性方程组的最小二乘解当且仅是如下相容线性方程组的解，所以不相容线性方程组的最小二乘解唯一当且仅

3、当非奇异，即。因为，所以不相容线性方程组的最小二乘解唯一当且仅当列满秩。-----------4共4页第3页四、（20分）（1）dim(V)=3,------2V的一组基为------3（2）因为则线性变换在基下的矩阵为。------------5（3）因为在基下的矩阵A非奇异，。---2，则。----3（4）因为矩阵A的初等因子为，所以矩阵A可对角化。因为线性变换在不同基下的矩阵是相似的，因此存在一组基使得（2）中线性变换在所取基下的矩阵为对角矩阵。因为矩阵A对应于特征值的特征向量为则取V的一组基为，在基下的矩阵为。------------5共4页第

4、4页五、（20分）（1）因为A为n阶Hermite矩阵，则存在n阶酉矩阵U，使得，其中，并且。令，则B是n阶Hermite矩阵，并且。-------------8设有另一个n阶Hermite矩阵E，使得，则E有谱分解其中。因为，则，。由，有。记，则，从而，于是，即，因此。-------------4（2）因为，所以A的特征值均非负。设A的特征值为，且，则的特征值为，于是。---------------4（3）因为，则A可逆，并且。由，可得由（2）知，因此。-------------4