南京航空航天大学矩阵论08-09a试卷及答案

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1、南京航空航天大学研究生考试试卷共5页第1页二00八--二00九学年第1学期《矩阵论》课程A卷考试曰期：2009年1月13日课程编号：A000003学院学号姓名成绩。8-16、一、(20分)设火=303,「142-10?(1)求A的特征多项式和A的全部特征值；(2)求A的不变因子、初等因子和最小多项式;(3)写出A的Jordan标准形参考答案及评分标准制定人：<矩阵论》课程组考试日期：2009年1月13日一、(20分)(1)特征值多顶式为/UkpJ-dIzxAU+l)23特征值为0,一1(二重)3⑵不变因子UJU+1)26初等因子儿

2、(2+1):2最小多项式w(2)=z(2+1)*2「-11■(3)Jordan标准形-V0-4Lo_二、(20分)(1)

3、

4、4=3；H2=73；

5、

6、<=2；

7、

8、J

9、

10、£=75------2'*4=8(2)证明：(i)因为」可逆，则」的特征值均非零。设Z是」的任一特征值，x是相应的特征向量，则“4x=又x:A~1x=2~1x因为叩是f上的相容矩阵范敷，则存在与11.1相容的向量范数II，从而I义IMLdMHIM中IIINLHIMW因为ht>o，贝1J

11、

12、^1"1^<\4o——-6

13、<=

14、

15、广11满足相容矩阵茹数

16、的四个条件。…-6-nA二（20分）（1）设A二01J!>(1)设11.11是Cwx'1上的相容矩阵范数，证明：(i)如果A是n阶可逆矩阵，2是A的任一特征值，则(ii)如果/^c'⑽是可逆矩阵，令则卜^是^⑽上的相容矩阵范数。三、(20分)(1)』的满秩分解为0-1一10,010(CC1n-7"7f)1f)(2)因为.AA+b*;所以不相容的■3其极小最、二乘通解为i-34_z(1)因为.Y是不相容线性方程组=d的最小二乘解当且仅.Y是如下相容线性方程组ATAx-ATb的解，所以不相容线性方程组Ax=6的最小二乘解唯一当且

17、仅当非竒异，即rank{ATA)=wo因为=m?曲＞i)，所以不相容线性方程组Ay=Zj的最小二乘解唯一当且仅当-4列满秩。4"-101、三20分)设焱=010，b=1-b(1)作出A的满秩分解，计算4+;(2)应用广义逆矩阵判断线性方程组Ar=/7是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。(3)设A是mxzt实矩阵，是m维实向量，证明：不相容线性方程组Ar=办的最小二乘解唯一当且仅当A列满秩四(20分)设V表示实数域上全体2x2上三角矩阵作成的线性空间(对矩阵的加法和数量乘法)。(1)求V的维数，并写出V的一

18、组基；f1—0「01、(2)在V中定义线性变换r:T(X)=X+X,XgVloojloij求r在(l)中所取基下的矩阵表示；(3)求(2)中线性变换r的值域/?(r)和核;v(r)，并确定他们的维数；(4)在v中能否取一组基使得(2)中线性变换r在所取基下的矩阵为对角矩阵？如果能，则取一组基；如果不能，则说明理由。五(20分)设A=(%•)为，?阶Hermite矩阵，证明：(1)存在唯一Hermite矩阵B使得A=B3；(2)如果A20,则fr(A2)S(Zr(A))2;(3)如果焱〉0,则"•(?!)"•(A—1)('o'1•

19、-11:1••0111°.:又!11kJ一组基为％1-VI00?a.'1o'01r在基下的矩阵为a、(20分)(1)dim(V>3:po':zon'0o'!、o0厂‘='00,^3=XJ：

20、ni(7?(7))=3。—3(4)因为矩阵A的初等因子为所以矩阵A可对角化。因为线性变換在不同基下的矩阵是相似的，因此存在一组基使得(2)中线性变换r在所取基下的矩阵为对角矩阵。因为矩阵A对应于特征值人=1:人=2,為=1的特征向量为-1100.4=020。5001五、（20分）（1）因为A为n阶Hemite矩阵，则存在n阶酿酿使得A其中A=••:又），并且為之…之＜。令•s则B是n阶Hernite矩阵，并且设有另一个n阶Hermite矩阵E，使得X=f，则E有谱分解E=VdiaS{^--,^VH^4=£S则邮（々:，…乂3）fa

21、•。由其中//]>•*>/4cA■=3'=E'有Udiag（A，…:人）t=Vdiagd••:2jr记P=CF=（p:,），则diag（^:…，人）P=，•••，4b从而^iPij=AA（i,j=l—,n）f于是1111diag成,…,OP=Pdi