南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲

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1、《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1线性空间和内积空间内容总结：ò线性空间的定义、基和维数；ò一个向量在一组基下的坐标；ò线性子空间的定义与判断；ò子空间的交ò内积的定义；ò内积空间的定义；ò向量的长度、距离和正交的概念；òGram-Schmidt标准正交化过程；ò标准正交基。习题选讲：1、设R[]x表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成3的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。2（1）求R[]x的维数；并写出R[]x的一组基；求1+x+2x在所取基下33的坐标；（2）在R[]x中定义31(f,g)=f(x)g(x

2、)dx，f(x),g(x)∈R[x]∫−1n证明：上述代数运算是内积；求出R[x]的一组标准正交基；322（3）求1+x+2x与1−x+2x之间的距离；（4）证明：R[x]是R[]x的子空间；23（5）写出R[]xR∩[]x的维数和一组基；23王正盛，矩阵论12×2二、设R是实数域R上全体2×2实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。2×2（1）求R的维数，并写出其一组基；⎡1−1⎤（2）⎢⎥在(1)所取基下的坐标；⎣−13⎦（3）设W是实数域R上全体2×2实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。2×2证明

3、：W是R的子空间；并写出W的维数和一组基；（4）在W中定义内积T(,AB)=tr(BA)，,AB∈W求出W的一组标准正交基；⎡13⎤⎡−12⎤（5）求⎢⎥与⎢⎥之间的距离；⎣30⎦⎣21⎦（6）设V是实数域R上全体2×2实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。2×2证明：V也是R的子空间；并写出V的维数和一组基；（7）写出子空间W∩V的一组基和维数。王正盛，矩阵论2Chapter2线性映射与线性变换内容总结：¢线性映射在基对下的矩阵表示；¢矩阵的典型关系：相抵（等价）、相似与相合；¢线性变换在基下的矩阵表示；¢线性变换在不

4、同基下的矩阵之间的关系——相似；¢矩阵的特征值和特征向量的定义与计算；¢矩阵可对角化的条件。习题选讲：一、设R[]x表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成3的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。（1）求R[]x的维数，并写出R[]x的一组基；332（2）1+x+2x在(1)所取基下的坐标；322（3）求1+x+2x与1−x+2x之间的距离；（4）在R[]x中定义内积31(f,g)=f(x)g(x)dx，f(x),g(x)∈R[x]∫−1n求出R[x]的一组标准正交基;3(5)在R[]x中定义线性变换D：D(f(x))=f

5、′(x),f(x)∈R[x]3n求D在（1）中所取基下的矩阵表示.⎛4−52⎞⎜⎟二、设A=⎜5−73⎟，⎜⎟⎝6−94⎠（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的全部特征向量；（3）求每个特征值的代数重数和几何重数；（4）判断A是否可对角化。王正盛，矩阵论3Chapter3λ矩阵与矩阵的Jordan标准形内容总结：òλ矩阵的定义与运算；òλ矩阵的smith标准形、不变因子、行列式因子和初等因子；ò矩阵的相似的条件；ò矩阵的Jordan标准形；ò最小多项式理论习题选讲：⎛4−52⎞⎜⎟一、设A=⎜5−73⎟，⎜⎟⎝6−94⎠（1）求A的

6、特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的行列式因子、不变因子、初等因子；（3）写出A的Jordan标准形；（4）写出A的最小多项式42（5）求A−A。王正盛，矩阵论4Chapter4矩阵的因子分解内容总结：¢矩阵的满秩分解；¢矩阵的三角分解；¢了解矩阵的QR分解；¢了解矩阵的schur定理和奇异值分解习题选讲：⎡234⎤⎢⎥一、（1）已知A=119，作出矩阵A的LU分解；⎢⎥⎢⎣12−6⎥⎦⎡1101⎤⎢⎥（2）已知A=0111，作出矩阵A的满秩分解；⎢⎥⎢⎣10−10⎥⎦王正盛，矩阵论5Chapter5Hermite矩阵与正定矩阵¢Hermit

7、e矩阵的定义和性质；¢正定矩阵的定义、性质和判定定理；¢矩阵不等式习题选讲：一、⎛2ii⎞⎜⎟（1）设A=⎜−i2i⎟，其中i=−1，证明:A>0；⎜⎟⎝−i−i2⎠⎛31−1⎞⎛121⎞⎜⎟⎜⎟（2）设A=⎜120⎟，B=⎜211⎟，问：A>B吗？说明理由；⎜⎟⎜⎟⎝−102⎠⎝111⎠（3）设,AB均为阶nHermite矩阵，且A>0，B≥0，且AB=BA，证明：AB≥0；（4）设,AB均为阶nHermite矩阵，且A>0，即A正定，证明：AB相似于实对角矩阵；（5）设,AB均为阶nHermite矩阵，A>0，且AB>0；证明：B>0；−1(

8、6)证明：若A>,0则A>,0；王正盛，矩阵论6Chapter6范数与极限¢向量范数¢矩阵范数—1、2、∞、F范数的定义与计算；¢范数等