南京航空航天大学2009_矩阵论考试考题及答案

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1、学院年级班学号姓名------------------------------线------------------------------------------------------------------封-----------------------------------------------------------------------------密--------------------------------考试试卷A(考试时间：2009年11月？日晚7：00-9：00考试方式：闭卷A)成绩：一、（15分）在中有两组基，求（1）由基到基的过渡矩阵；（2）

2、向量在基之下的坐标；（3）在两组基下有相同坐标的非零向量。解：(1)因为所以由基到基的过渡矩阵（5分）(2)所以向量在基之下的坐标为（5分）（3）由（2）式有，则有，该方程组的通解为,对两个基有相同坐标的非零向量为，非零常数。（5分）二、（10分）设矩阵，计算：。证：（3分）令（2分）用去除，得（2分）则有（1分）由Hamilton-Cayley定理，于是（2分）共4页，第1页学院年级班学号姓名------------------------------线-------------------------------------------------------------

3、-----封-----------------------------------------------------------------------------密--------------------------------三、（15分）证明：对于任意矩阵范数在向量空间上必存在与之相容的向量范数其中是维列向量。证：1.非负性：(3分)(1)（2）2.齐次性：(4分)3.三角不等式：(4分)4.相容性：(4分)从而，对于任意矩阵范数在向量空间上必存在与之相容的向量范数其中是维列向量。四、（15分）设若存在一种矩阵范数使得则证明：1.（5分）2.（5分）3.（5分）五、（

4、15分）设，求解常微分方程组的初值问题。解：1.（2分）2.令，（1分）由（4分）3.（4分）研究生院制（4分）共4页，第5页学院年级班学号姓名------------------------------线------------------------------------------------------------------封-----------------------------------------------------------------------------密--------------------------------六、（8分）设分别为阶

5、实正交矩阵，。证明：证明：根据加逆的定义直接验证：故有：七、（12分）假定(1)，求矩阵的满秩分解；(4分)(2)，求；(4分)(3)，判断方程组是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘解。(4分)解：(1):,故矩阵的满秩分解为：。(2)，(3)，因容易验证，故方程组相容，最小范数解为从而其极小最小二乘解为：研究生院制共4页，第5页学院年级班学号姓名--------------------线------------------------------------------------------------------封----------------

6、-------------------------------------------------------------密--------------------------------（10分）令，。试用圆盘定理估计矩阵的特征值分布范围，并在复平面上画出示意图；为了得到更精确的结果，请利用矩阵的盖尔圆盘来隔离矩阵的特征值。解：（1）由矩阵盖尔圆的定义，易求得三个盖尔圆分别为：。（3分）（2）显然，三个盖尔圆有两个在复平面上相交。(图略)（4分）（3）令。（6分）于是此时可进一步求得的三个盖尔圆分别为：。显然，此时三个盖尔圆两两不再相交。（9分）（4）因为,所以矩阵与具有相

7、同的特征值。因为，所以矩阵的特征值分布在三个孤立圆盘中。（10分）研究生院制共4页，第5页共4页，第5页