资源描述：
《南京航空航天大学矩阵论11-12试卷及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、南京航空航天大学2011级硕士研宄生共5页第1页2011〜2012学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷考试日期：2012年1月9日，：学院专业学号姓名成绩、21、二(20分)(1)设-123>(2)设A=(力)eC，，证明：(i)对m阶酉矩阵f/和n阶酉矩阵V,有
2、
3、[MV
4、
5、f=
6、
7、<.;(ii)若胭A(A)=r，…，<7,.为A的全部正奇异值，则玄〜f。A-I/=17=1AM14005Vl4；11<=3;11<=初.r4’rr⑵(i)
8、
9、[MV
10、
11、f=[zr((f/AV)H[/AV)]2=[tr(yHAHUHUAV}}=[tr
12、(ynAnAV)y=[tr(V-lA,JAV)y=[tr(AnA)y=
13、
14、A
15、
16、(ii)因为md(A)=r,则l+l奇异值分解定理知，存在m阶酉矩阵(7和zi阶酉矩阵V,其中，…，C7,.),从而Z00069，50、，10、151"3<55>715本b，所以Ax=6不相容,Ax=b的极小最小二乘解为x=/V7?115，19、12-74101、三（20分）设焱=0110，b=0J211,<4；（1）计算A的满秩分解；（2）计算广义逆矩阵4+;（3）用广义逆矩阵判定线性方程组Ar=/7是否相容。若相容，求其通解;若不相容，求其极小最
17、小二乘解。A+=cT(ccTrBTBy1Btz5-4r03315-5725-410、，1101、01011oyJb71)Ar2-10'四(20分)(1)设4=-13-3,判断A是否是正定或半正定矩阵，并<0-32〉说明理由；(2)设A是h阶Hermite正定矩阵，5是阶Hermite矩阵，证明：相似于实对角矩阵；(3)设B均为《阶Hermite矩阵，并且=/I是AB的特征值，证明：存在A的特征值汉和S的特征值A，使得A=(1)因为A的顺序主子式A1=2〉0，A2=5〉0,A3=-8<0,所以A不是正定的。4，因为A有一个主子
18、式A,=-8<0或因为A,B均为《阶Hermite矩阵，并且AB二凡4,则存在n阶酉矩阵t/，使得=-3<0,所以A也不是半正定的。3-324，(2)因为A是A2阶Hermite正定矩阵，则存在可逆Hermite矩阵S，使得/l=SUHAU=diag(a'，…，an)，UHBU=diag咏，…，心。3'臓UHABU=diag(a人，…，，即AS相似于对角矩阵必呀⑹我，…，％及)。因此，如果A是/IB的特征值，则存在4的特征值汉和B的特征值A,使得A=,从而AB相1以于S~'ABS=SBS=SHBS。3’又因为是Hermite矩降
19、•，则S11BS是Hermite矩陈。由Hermite矩阵的谱分解SuBS相似于实对角矩阵，再巾相似的传递性知，AB相似于实对角矩阵。3’6"rrrrr2’2’共5页第5页五(20分)设/?[x]3表示实数域/?上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间。(1)确定R[x],的维数，并写出R[x],的一组基；(2)对/(%)=6/0+%%+屮％2白尺[%]3,在/?[斗上定义线性变换r如下:7(/(%))=(6/()+-6Z2)%+(«2-6Z())X2,求r在(1)中所取基卜的矩阵表示；(3)求(2)中线性变换r的值域/
20、?(r)和核/^r(r)，并确定它们的维数;(4)在/?[x]3中定义内积(/，《?)=£/(»
21、)=2,Ker(T)=span(a'+a2+6r3),dim(心r(7"))=1。(2)/?[x]3的一组标准正交基为1e'1'e1x•’32V23kr36-15'一(20分)设4=12-5。J2-5,(1)求/I的特征多项式和/I的全部特征值；(2)求A的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式；(3)写出A的Jordan标准形J。(1)
22、A/—,3’A的特征值及二1，岑=/?3=0;3’(2)4的行列式因子1，A，A*123;3’A的不变因子1，A，A2;3’A的初等因子2’A的最小多项式22;1’<010、(3)A的Jo
23、rdan标准形000。5’<000>
