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1、南京航空航天大学研究生考试试卷共5页第1页二00七--二00八学年第一学期《矩阵论》课程考试日期：2008年1月16日试卷类型A课程编号：A000003学院学号姓名成绩r11-2'一、(20分)设矩阵4=—2—23,<-1-11>(1)求A的特征多项式和A的全部特征值；(2)求A的行列式因子、不变因子和初等因子；(3)求A的最小多项式，并计算A6+3A—2/;(4)写出A的Jordan标准型二、(20分)设Z?2"2是实数域上的全体2x2实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。(1)求尺2"2的维数，并写山其一组基；(2)设W是全体2x2实对称矩
2、阵的集合，证明：W是/?2x2的子空间，并写出W的维数和一组基；(3)在W中定义闪积G4，B)=Zr(&4),其中人BeW,求出W的一组标准正交基；(4)给出尺〜2上的线性变换7T(A)=A+Ar,VAgR^2写出线性变换T在(1)中所取基下的矩阵，并求7的核/^r(r)和值域/?(r)。三、(20分)(1)设乂=213-121，喇"K,ML,h(2)设4=(〜)eC,IX令p=n•max騸孀IJau证明：是C'w上的矩阵范数并说明具有相容性⑶证明：-
3、
4、<<
5、
6、<<(I-11、’2'1101，向量/?=0011、00b<2>四、（20分）已知矩阵4=（1）求
7、矩阵A的07?分解；（3）用广义逆判断方程组Av=6是否相界？若相界，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解五、（20分）(2)设n阶Hermite矩阵A=AiA2A2^22>0,其巾AueCkxk，532>12、1）设矩阵汲二32t，B=110.5/t2；/<20.5/1,，其中f为实数问当Z满足什么条件时，A〉B成立？证明：A,,>0,Ar-AgAjAuSO。(3)己知Hermite矩陈A=(七)€(?■,aij〉工aij(=l，2，".，n)，证明：A正定一、（20分）解••(1)AI-A=A-l-122A+2-3
8、=A311A-lA的特征多项式为A3，
9、A的特征值冬=人==06分(2)A的行列式因子：1,1,A3；A的不变因子：1,1,A3；A的初等因子：A3;7分(3)因为A2*0,A3=0,4的最小多项式A6+3A-2/=3A-2/[3-6、6-893-31(4)A的Jordan标准形<010001000二(20分)解：(丨)尺2"2的维数为4,一组基0、<01、，00、"00、、00?9<0…9<0b(2)VA，fielV，V々e/?，贝ijv(A+B)7=A7+B7=A+B,/.A+BgW；v(M)7=kAT=kA；/.MeW。对加法和数乘封闭，所以是Z?2"2的子空间(3)C,=A,,6,<10、<01
10、、<00、=，A-,-，A3=<00,<10;、0ljW的维数为3,—组基养C2_1H=7TC3=A3——(A3,B2)B2所以00<0ly，B'=•，00、/<00001为W的一组标准正交基(4)r在(1)中所取基下的矩阵为2000、011001100002r的核尤0k-k0TWW/?(T)：span{Al,A2yA,}=Wo5分三、(20分)解：(1)A,=4,A,=Vl5,
11、A=6,Ar=^202IooF(2)若A#0，则至少有一个〜#0，
12、
13、A>0(3)A若A=0,则d^=0，Vz,7,AV女eC，=n-maxi，j=n•maxkn.max“jaij=
14、QnxnA+B=n-maxai；+bi；15、^
16、=
17、
18、4+
19、
20、B••7所以是C/iXn上的相容矩阵范数。8分A腿(<欠)喇2厂=ZKf-,?2max••—I1f42，..桃华不妨设n^x
21、%卜卜“I,则+
22、
23、A
24、
25、记x。=气，y0=气，则
26、
27、x()
28、
29、2=1，
30、
31、)’0
32、
33、2=1，•••ML=max
34、^^>y^Ax,=a.^xnx=/zy=l综上可知：^IK<
35、
36、
37、/l
38、
39、2<
40、
41、A
42、
43、：f4分2(1)矩阵4的0/?分解：A=20.722V22000V
44、2V22006分=+A114-n2zf2-2O2/.AA+bb该方程组不相容。(3)vAA+b=1.5J-5,极小最小二乘解=五、(20分)"520(1)A-B=210.5Z,,00.5，i,△i=5〉0，A2=1>0,A3=5oA-B=1—if〉0时/l〉B成立4即一<4时成立Vs10分(2)vAAiA?A2^22>0,An为a的前k阶顺序主子式，/.A,>0存在可逆矩阵尸=n-k,使得八4/^=0A22—=B%.=maxX；zo•I1则〉0，由儿¥=义¥，有(A-fz队
45、)=工a
