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《《高等工程数学(矩阵论)》复习提纲与习题选讲new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《矩阵论》复习提纲与习题选讲chapter1线性空间和内积空间内容总结：ò线性空间的定义、基和维数；ò一个向量在一组基下的坐标；ò同一线性空间不同基之间的过度矩阵；ò线性子空间的定义与判断；ò子空间的交；ò内积的定义；ò内积空间的定义；ò向量的长度、距离和正交的概念；òGram-Schmidt标准正交化过程；ò标准正交基。习题选讲：1、设R[]x表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空3间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。（1）求R[]x的维数；并写出R[]x的一组基；332（2）求1+x+
2、2x在所取基下的坐标；2（3）写出（1）所取基到R[]x的另一组基(,1x−1),(x−)1的过渡矩阵；3（4）在R[]x中定义31(f,g)=f(x)g(x)dx，f(x),g(x)∈R[x]∫−1n证明上述代数运算是内积；求出R[x]的一组标准正交基；322（5）求1+x+2x与1−x+2x之间的距离。12×2二、设R是实数域R上全体2×2实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。2×2（1）求R的维数，并写出其一组基；⎡1−1⎤（2）⎢⎥在(1)所取基下的坐标；⎣−13⎦（3）设W是实数域R上全
3、体2×2实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。2×2证明：W是R的子空间；并写出W的维数和一组基；（4）在W中定义内积T(,AB)=tr(BA)，,AB∈W求出W的一组标准正交基；⎡13⎤⎡−12⎤（5）求⎢⎥与⎢⎥之间的距离；⎣30⎦⎣21⎦（6）设V是实数域R上全体2×2实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。2×2证明：V也是R的子空间；并写出V的维数和一组基；（7）写出子空间W∩V的一组基和维数。2chapter2线性映射与线性变换内容总结：¢线性映射在基对下的
4、矩阵表示；¢矩阵的典型关系：相抵（等价）、相似与相合；¢线性变换在基下的矩阵表示；¢线性变换在不同基下的矩阵之间的关系——相似；¢矩阵的特征值的定义与计算；习题选讲：一、设R[]x表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成3的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。（1）求R[]x的维数，并写出R[]x的一组基；332322（2）1+x+2x在(1)所取基下的坐标；求1+x+2x与1−x+2x之间的距离；2（3）已知其另一组基为x,1−(,ax−a)，（4）求由（1）总所取的基到这组基的过度矩阵；（
5、5）在R[]x中定义内积31(f,g)=f(x)g(x)dx，f(x),g(x)∈R[x]∫−1n求出R[x]的一组标准正交基;3(6)在R[]x中定义线性变换D：D(f(x))=f′(x),f(x)∈R[x]3n求D在（1）中所取基下的矩阵表示.3chapter3λ矩阵与矩阵的Jordan标准形内容总结：òλ矩阵的定义与运算；òλ矩阵的smith标准形、不变因子、行列式因子和初等因子；ò矩阵的相似的条件；ò矩阵的Jordan标准形；⎛⎞−210⎜⎟一、（20分）设矩阵A=−121，⎜⎟⎜⎟⎝⎠14−134（1）求A
6、的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）写出A的Jordan标准形.Chapter4矩阵的因子分解内容总结：¢矩阵的满秩分解；¢矩阵的三角分解；¢了解矩阵的QR分解；¢了解矩阵的schur定理和奇异值分解习题选讲：⎡234⎤⎢⎥一、（1）已知A=119，作出矩阵A的LU分解；⎢⎥⎢⎣12−6⎥⎦⎡1101⎤⎢⎥（2）已知A=0111，作出矩阵A的满秩分解；⎢⎥⎢⎣10−10⎥⎦4Chapter5Hermite矩阵与正定矩阵¢Hermite矩阵的定义和性质；¢正定矩阵的定义、性质
7、和判定定理；¢矩阵不等式习题选讲：⎛2ii⎞⎜⎟一、设A=⎜−i2i⎟，其中i=−1，证明:A>0；⎜⎟⎝−i−i2⎠⎛31−1⎞⎛121⎞⎜⎟⎜⎟（1）设A=⎜120⎟，B=⎜211⎟，问：A>B吗？说明理由；⎜⎟⎜⎟⎝−102⎠⎝111⎠（3）设,AB均为阶nHermite矩阵，且A>0，B≥0，且AB=BA，证明：AB≥0；（4）设,AB均为阶nHermite矩阵，且A>0，即A正定，证明：AB相似于实对角矩阵；（5）设,AB均为阶nHermite矩阵，A>0，且AB>0；证明：B>0；−1(6)证明：若A>,
8、0则A>,0；5Chapter6范数与极限¢向量范数¢矩阵范数—1、2、∞、F范数的定义与计算；¢范数等价性—范数不等式习题选讲：⎛210⎞⎜⎟（1）设A=⎜−123⎟，求A,A,A,A；12∞F⎜⎟⎝0−32⎠n×n（2）设A∈C是可逆矩阵，*是满足I=1的相容矩阵范数，−1−1证明：A≥A；m×n（3）设A∈C，证明：A≤A≤rank(A)
