高等工程数学讲义 华科 （矩阵论）

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1、矩阵论为何要学矩阵论？自然界和社会发展的本质——“变”（change）。种子幼苗树林房梁、桌椅……婴儿小学生中学生硕士、博士……数学描述：f：xy=f(x)：RxRyfunction推于T：：transformationB，B具有线性结构：，变换具有线性性质：，那么可表为向量=（x1，…xn）T，T可表为矩阵，因此要研究矩阵的性质。（等于研究线性变换的性质）如解线性方程组：Ax=b，存在？唯一？正如二次型若有P使则~标准化其中引出相似对角化问题。2.方阵的相似化简2.1Jordan标准型2．1.1矩阵的相似及对角化A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。A课相似对角化~

2、定理1.5.6A可相似对角化A有n个线性无关的特征向量。事实上取（可选）有P-1AP=为求特征值的代数重数~为求特征向量解有个线性无关的解的几何重数~定理2.1.1对任何方阵A的特征值有证明：t=1，…，。补充使可逆P-1AP=︱A-I︱=﹙i-﹚ki︱A22-I︱→ni≧ki推理（P57）若A的任一特征值满足ni≧ki，则A可以对角化例（P80）将A=进行相似化简解：首先解︱A-I︱=﹙1-﹚﹙2-﹚2=0的特征值对1=1得x=0得x1=对2=2，n2=2得x=0得x2=由于k2=1＜2=n2知A不可对角化全因rank（A-2I）=2，使k2=3-2=1而由rank﹙A-2

3、I﹚2≦rank（A-2I）可考虑(A-2I)2x=x=0（*）rank﹙A-2I﹚2=1→dingN（﹙A-2I﹚2）=3-1=2=n2﹙A-2I﹚2x2=﹙A-2I﹚﹙A-2I﹚x2=0即x2为（*）的解另一解x3，﹙A-2I﹚x3=x2则﹙A-2I﹚2x3=﹙A-2I﹚x2=0即x3为（*）的解于是解x=得x3=（取x2=，得x3=）注意到﹙A-2I﹚x3=x2→Ax3=x2+2x3因此A==即取P==，x1x2x3线性无关，P-1存在就有P-1AP=JA∽J例2将A=进行相似化简解：︱A-I︱=﹙1-﹚3﹙2-﹚对1=2，n1=1解﹙A-2I﹚x=0，得x1=T对i=

4、1，n2=3解x=0得x2=，x3=rank（A-I）=2，k2=4-2=2＜3=n2，故A不可对角化考虑解齐次线性方程组﹙A-I﹚x=x2即x=无解（同理﹙A-2﹚x=x3无解）故另取x3／=x2-x3=，解x=，得x4=令P=(x1x2xx4)=注意到Ax4=x+x4有P-1AP=2.1.2Jordon矩阵Jordon块~Jl=Jordon矩阵~diag(Jl1,Jl2，…，Jls)如例1中=例2中=2.1.3k级根向量（广义特征向量）及其性质A关于特征向量l0的k级根向量x:(A-l0I)k-1x≠0但(A-l0I)kx=0特别，特征向量即为1级根向量。例1中的x3和例

5、2中的x4为二级根向量。定理2.1-2A关于l0的不同级根向量线性无关。证明：设xi为A关于l0的i级根向量，i=1，…p，且有a1x1+a2x2+…+apxp=0将上式左乘(A-l0I)p-1得(A-l0I)p-1xi=ap(A-l0I)p-1xp=0由(A-l0I)p-1xp≠0得ap=0。同理，依次可证，ap-1=ap-2=…=a1=0。定理2.1-3A关于不同特征值根向量线性无关。证明：设l1，…，ls向为A的特征值，li≠lj(i≠j).xi为A关于li的ni级根向量，i=1，…s,若a1x1+a2x2+…+asxs=0将上式左乘(A-l1I)n1-1(A-l2I)

6、n2…(A-lsI)ns。由于矩阵多项式可换序相乘及(A-l2I)n2…(A-liI)nixi=0,i=2，…s,得a1(A-l2I)n2…(A-lsI)ns(A-l1I)n1-1x1=0记y=(A-l1I)n1-1x1,则y≠0且(A-l1I)y=0。当li≠l1时(A-l1I)my=(A-l1I)m-1(Ay-liI)y=(l1-li)(A-liI)m-2y=(l1-li)my可见，a1(A-l2I)n2…(A-lsI)ns(A-l1I)n1-1x1=a1(l1-l2)n2…(l1-ls)nsy=0由li≠l1,i=2,…,6和y≠0得a1=0，同理可推得a2=…=as=

7、0。2.1..4矩阵A的Jordan标准形A关于特征值l0根空间Nl0={x

8、（A-l0*I）n0x=0}n0为l0的代数重数。A关于特征值的指标r是A关于根向量的最高级数，即若：（A-l0*I）mx=0（m>r)则(A-l0*I)rx=0即：Nl0={x

9、(A-l0*I)rx=0}rn0例如：在例2中对l2=1有n2=3，r=2因为：(A-I)3=(A-I)*(A-I)2=00-1-10000=0000001100000000000-1000-1000-1000100010001=(A-I)2一般有结