一道解对数不等式题引起的思考精品资料.doc

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1、一道解对数不等式题引起的思考福建省厦门外国语学校薛梅风例题：解不等式log8（x3+x+3）>log2（x+l）（）■x3+工+3〉0解：原不等式可化为：①]尤+1>0+尤+3〉（X+I），[x+l>0即等价于②7[3x2+2x-2<0x>-1_irj即〈―i—77-i+V?,解得：-]cv70的运算，实际上，尸+尤+3〉0是不容易求解的。下面如果我们将该题改为：Iog8（x3+x+3）

2、X+3>0述解法可以得到：原不等式可化为：x+l>0+X+3<（X+1）3即等价于]'+工+3〉0,这时我们对尸+1+3>0束手无策，也就不能得+2x-2Z0到最后的结果。现在我们思考这样一个问题：在不等式（）得到求解后，对于不等式（）能不能利用其补集进行求解呢？当然可以，所以我们很容易得到不等式（）的解集是：{xx<-l或x>-}o此时，我们不难发现当x=-l时，原不等式3没有意义,可见，{XIx<-或x>-l+-^}不是原不等式的解集，那么3究竟错在哪里呢？仔细想想，发现我们当在求不等式()的解集的补集时，必须在全集的范围内进行，而我们却将全集默认为全体实数集,这是错误的。事实上,

3、疽-4-r4-3>0全集I应该是由不等式组{求解得到的，但是这里我们又遇到一元[X+1>0三次不等式尸+x+3〉0的运算问题。由r+x+3〉0可得：x3>-x-3,令=x3,y2=-x-3,在同一个直角坐标系内画出它们的图象(如图所示)，设两个图象的交点P的横坐标为尤°,易知：-2y2,从而r+jr+3〉0的解为：x>Xq(—20得：x>-1,所以，全集1=(xIx>-l}o因此不等式()的解集是：(XI点上歹}.从上面的分析来看，我们通过求交集法，同样可以优化解3题过程，避免了一元三次不等式尸+工+

4、3〉0的直接求解，使问题得到迎刃而解。优化数学问题的解题过程是学习数学的重要思想方法，在《高考数学科考试说明》关于运算能力的要求中指出：“寻求与设计合理、简捷的运算途径……这里指出了运算的优化问题，因此，我们在教学中应该给予足够的重视。精品资料，你值得拥有!