一道解对数不等式题引起的思考.doc

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1、一道解对数不等式题引起的思考福建省厦门外国语学校薛梅风例题：解不等式logx(x?+x+3)>log2(x+1)(*)+兀+3>0解：原不等式可化为：兀+1>0X3+兀+3>(X4-1)3—［兀+1>0即等价于Q.3兀2+2兀一2<0-—I即-1-77-I+V7,解得:0的运算，实际上，x3+x+3>0是不容易求解的。下面如果我们将该题改为:log8（x3+x+3）

2、2（x+l）（**）,那么依照上x3+x+3>0述解法可以得到：原不等式可化为：｛兀+1〉0+x+35（X+1）'■尢*+V4-3>0即等价于7，这时我们对x3+x+3>0束手无策，也就不能得+2x-2>0■到最后的结果。现在我们思考这样一个问题：在不等式（水）得到求解厉，对于不等式（杆）能不能利用其补集进行求解呢？当然可以，所以我们很容易得到不等式（**）的解集是：u1QI或沦呼人此时’我们不难发现当"原不等式没有意义，可见，｛X丨1或x>-l+-^-｝不是原不等式的解集，那么3究竞错在哪里呢？仔细想想，发现我们当在求不等式（*）的解集的补集吋，必须在全集的范囤

3、内进行，而我们却将全集默认为全体实数集，这是错谋的。事实上，+兀+3>0全集【应该是由不等式组求解得到的，但是这里我们乂遇到一元x+1>0三次不等式疋+兀+3>0的运算问题3rh+x+3〉0口J得：>~x—3,令）［=兀‘，y->=—兀一3,在同…个直角坐标系内画出它们的图象（如图所示），设两个图彖的交点P的横坐标为兀°，易知：-2x（）时，）［>y2,从而x3+x+3>0的解为：x>x0（-20得：%>-1,所以，全集1=｛XI小叮｝.从上面的分析来看，我们通过求交集法,同样可以优化解x

4、>-1｝。因此不等式（**）的解集是：题过程，避免了一元三次不筹式疋+兀+3〉0的直接求解，使问题得到迎刃而解。优化数学问题的解题过程是学习数学的重要思想方法，在《高考数学科考试说明》关于运算能力的要求中指出：“寻求与设计合理、简捷的运算途径……”。这里指出了运算的优化问题，因此，我们在教学中应该给予足够的重视。