一道习题引起的思考

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1、数学教材中一道习题的探究——陕訪省禎巴县松树初銀屮禽赦皆谋塑狙球舍江钟夂汪何亲兴电话：0916—6979034邮编：723607E-mail:783313577@qq.com在现行使用的华东师大版九年级（下）数学教材第29章《几何的回顾》中，P82习题29.2的第5题是这样提出问题的：一组对边相等，一组对角相等的四边形是否一定是平行四边形？如果一定是，请给出证明；如果不一定是，请举出反例。对于这道题目，不同的辅导资料给出了不同的结论。一、华东师范大学出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书教师用书》（九下）给出的答案如下：不一定。作AABD,使AABD的三边各不相等。不妨设

2、BD最长，以BD为对称轴作AABD的对称三角形CBD,则在四边形ABCD中，AB二CB,ZA二ZC,但是四边形ABCD不是平行四边形。如图（1）所示:D显然，根据答案的做法，得到：在四边形ABCD中，AB二CB,ZA二ZC,四边形ABCD不是平行四边形这样的结论。但是，AB与CB并不是对边，而是邻边。因此，这样的作法及说理均不符合题目要求。二、北京教育出版社出版的《倍速学习法》（配华东师范大学出版社实验教科书）给出的答案是:一定是平行四边形。证明如下：如图(2):图(2)ZB二ZD,AB二CD,过A作AE丄BC,过C作CF丄AD,则ZAEB=ZCFD=90°,在AABE和A

3、CFD中，rZB二ZD,

4、的解答，我们认为“观察图形这是不可能的”这一句话缺乏理论逻辑。另外，由于解题者一开始就认定这是一个平行四边形，所以讨论问题时就已经陷入了一个固定的思维圈子。三、山东科学技术出版社出版的《教材问题、习题解答》（配华东师大版）给出了如下的答案：不一定是。反例：如图（4）,在等腰三角形ABE的底边BE上取一点C（不是BE中点），然后作AC的垂直平分线，交AE于点G,连结CG并延长至点D,使CD二AE,连结AD,可知CD二AB。容易证得ZB二ZD,则四边形ABCD满足条件，但不是平行四边形。确实，该题的作图以及逻辑推理均是很合理、严密的。这才是本题的正确答案。如果把点C看作一个动点

5、，在BE上运动，那么，随着点C位置的改变，四边形ABCD的形状也在发生不同的变化。也就是说，符合条件的四边形ABCD有无数个；与此同时，我们改变AABE的形状，又会得到无数个符合条件的四边形ABCDo《当点C为BE的中点时，得到的四边形ABCD是平行四边形，如图（5））综上所述，一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形这个结论是勿庸怀疑的。实际上，要举出反例，还有一些方法,例如：方法一：（1）、先作ZABE二ZCDF,使AB二CD。（BE和DF不固定长度）（2）、使点C落在BE上，如图（6）所示，沿逆时针方向旋转ZCDF,在旋转过程中，ZCDF的边DF与AB相交

6、于点A,则所得四边形ABCD也是符合题目要求的。随着点C位置的改变，得到的四边形ABCD也在不断改变，整个过程中，仅当AD二BC时，才会形成平行四边形。图（6）在这种作法中，教师先用自制教具演示，然后让学生自制学具进行实验，从而加深他们对原命题的正确认识。方法二：如图（7）所示，ZkCAE中，CA二CE,在AE的延长线上任取一点B（AE工EB）,连结BC,以点C为顶点，AC为一边，作ZACF二ZCEB,在CF上截取CD二EB,于是，ZCEB竺ZACD（S.A.S）,所以，ZB二ZD,AD二BC（全等三角形的对应边、对应角相等），则四边形ABCD符合题目条件，但不是平行四

7、边形。（当AE二EB时，得到的四边形ABCD是平行四边形）图（7）为了从理论及作法上加深学生的理性认识，我们认为还是图（4）和图（6）介绍的方法比合理。后来，有些学生从图（6）的方法中受到启发，运用ASA、SSS的作图原理来构造全等三角形，从而也得到了相同的结论，这里就不再一一叙述了。对于教材上的这个问题，我们提出了上述意见，有不妥之处，敬请指正。同时，希望更多同仁有兴趣参与该问题的进一步探讨。二OO九年三月