二重积分与累次积分.pdf

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1、第17卷第1期吕梁高等专科学校学报2001年3月VoI.17No.1JournalofLuliangHigherCollegeMar.2001[文章编号]1008-7834(2001)01-0003-02二重积分与累次积分张慧琴(吕梁高等专科学校数学系,山西离石033000)[摘要]本文通过五组问题,讨论二重积分与累次积所以f(x,y)在R上不可积。分的关系1122)当x为有理数时,Q0f(x,y)dy=Q03ydy=1[关键词]二重积分;累次积分11[中图分类号]O172.2[文献标识码]A当x为无理数时

2、Q0f(x,y)dy=Q01dy=111所以积分Q0dxQ0f(x,y)dy=1存在12重积分与累次积分是积分学中一个重要而复杂的问题。3)对于任一y,当X为有理数时,则f(x,y)=3y2一般来说,重积分与累次积分没有关系,这很类似于二元函31数在一点的二重极限与累次极限之间的关系。但对初学者,2与(1)类似的讨论方法,可知Q0f(x,y)dx不存在,因此往往误认为重积分与累次积分是一回事,从而导致许多理论11QdyQf(x,y)dx不存在00和实践上的错误,为了对此问题有一个比较明确的认识,我们将通

3、过五组问题,进行比较全面地讨论。为方便书写仅就问题2当(A)(B)都存在时,是否必相等?(C)一定存二重积分与累次积分来讨论。在吗?bd答:不一定设QadxQcf(x,y)dy为(A)x-y3当(x,y)X(0,0)db例如:f(x,y)=(x+y)QdyQf(x,y)dx为(B)ca0当(x,y)=(0,0)21kf(x,y)dxdy为(C)^函数f(x,y)在(0,0)附近无界。事实上取点(,)nnR21其中R=[a[x[b,c[y[d]-221nnn有f(,)==y+](ny])问题1当累次积分(A)

4、(B)之一存在时,能否断定另nn21327(+)一个也存在?能否断定重积分(C)存在?nn_二重积分不存在答:不能,例如在R=[0[x[1;0[y[1]上定义121113y当x是有理数x-yyf(x,y)=但是Q0dxQ0(x+y)3dy=Q0(x+y)2dx1当y是无理数0111dx1则:1、f(x,y)在R上不可积;2、累次积分Q0dxQ0f(x,=Q2=20(x+1)111y)dy存在;3、累次积分dyf(x,y)dx不存在1111Q0Q0dyx-y-xdy=-QQ3dx=Q2Q100(x+y)0(x

5、+y)01)事实上,取R的子区域R1=[0[x[1,[y[1],02dy112=-在R上,(1+y)2212即两个累次积分都存在,但不相等对任意y,当x为有理数时,则f(x,y)=3y3()2问题3当(A)(B)都存在且相等时,重积分一定存在31=,于是对R怎样分割,在每个小区域vRi上,总是有使吗?21答:不一定,例如在矩形R=[0[x[1,0[y[1]上x为有理数和无理数的点同时存在。故振幅X1,而对于2定义任意一分法的振幅和p1p2111当x=qy=q为有理数2XivRi2RXivRi(1-)

6、f(x,y)=RRc220其它情况其中P1与q与p2与q是无公因子的正整数,且p1

7、Qf(x,y)dx=0f(x,y)=q00110当y为无理数由x与y的对称性易得Q0dxQ0f(x,y)dy=0在[0,1]上无论怎样分法及取法在xI(0,1)为有理数问题4、当二重积分(C)和二次积分(A)(B)之一存在时,f(x,y)所对应的振幅为1,q时,它们一定相等吗?另一个二次积分一定存在吗?1答:前一问题的答案是肯定的,后一问题则不一定故Q0f(x,y)dy对PxI(0,1)为有理数不存在11若函数f(x,y)在矩形区域R:[a[x[c[y[d]上于是QdxQf(x,y)dy不存在00可积且问题

8、5当f(x,y)在f=[a[x[b,c[y[d]连dPxI[a,b]Qcf(x,y)dy存在,即累次积分续时,(A)(B)(C)的相互关系如何?bd答:此时三个积分存在且相等QdxQf(x,y)dy存在,ac注意:f(x,y)在矩形区域R上连续,是(A)(B)(C)存在bd则有kf(x,y)dxdy=QdxQf(x,y)dy相等的充分条件aeR例如:f(x,y)=R(x,y)证明参看[1]下册P318定理11(R