二重积分的对称性问题.pdf

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1、。、孟篡忽兵,二重积分的对称性问题汪秀羌华南理工大学,广州利用对称性计算二重积分,不但可以使计算简化,有时还可以避免错误在一般情况下,必须是积分区域具有对称性,而且被积函数对于区域也具有对称性,才能利用对称性来计算在特殊情况下,虽然积分区域没有对称性,或者关于对称区域被积函数没有对称性,,化为但经过技巧性的处理能用对称性来简化计算这些都是很值得我们探讨的问题工·‘‘一十·,。是由一』十,例计算其中、确定的闭区域图井解本例是许多高等数学课本的一道习题每届都有相当一部分学生错误地利用对称性计算如下一‘

2、·,一、二。一‘,一井丁一错误的原,因是只看到积分区域的对称性,一,却忽略了被积函数刃对于来说没有对称性即它不是同时关于和的偶函数正确的解法是,一··一一井一一一‘’,,十,一丑厂一丁丁二一一一图本题如果把,妇一’改为,妇‘”‘,,“’这时被积函数是同时关于和的偶函数而积分区域,同时对称于轴和轴则可用对称性计算如下,一一一·且一井一,为了准确有效地利用对称性简化二重积分的计算下面作者主要对两种常用形式的对称性进行研究一、积分区域对称于坐标轴定理设平面区域一,,且,、关于轴对称即对称于轴图则,上的连

3、续函数满足,一,一即,,是关于的偶函数时有,,,‘,,一且一且工科数学第卷,一,一即,是关刃于的奇函数时,有·了,了,’“。且一证明从略’一其中为簇镇例计算且解由于积分区域图对称于士轴,且被积函数是,关于的奇函数由定理得,一一。·井本题,,如不用对称性计算根据的特点选用极坐图标计算如下,一,‘··一“一先夕井且‘尸司。、。亡犷”二一一一布︺。工陇‘。。一。一。二奇整数在对称区间上的定积分为零可见,利用对称性有效地简化了此二重积分的计算类似于定理,当积分区域对称于轴,而被积函数,是关于的奇偶函数时,

4、也可以利用对称性简化二重积分的计算所以把例中的改为镇犷犷镇,也有’一少户图,例计算,一,。,其中且·,一了及直一所围是由抛物线一了线成的闭区域图,,一不是关于的奇或解这里积分区域对称于轴但被积函数刃,,,,一,,一,偶函数故不能直接应用对称性计算二重积分但是若记刃儿刃则,妇,而,一是关于的偶函数,由对称性有一是关于的奇函数刃·’且‘·“一一薯沙一井沙一卫沁协仆万一考,、,厂,又十口日一十日口下甲一浏刃勺一般,,,,地当积分区域具有对称性而被积函数刃没有对称性还要考虑分项积分第期汪秀羌二重积分的对称

5、性问题是否可以用对称性简化计算例计算,一士〔十劣,〕一其中,是且由二,一和一所围成的闭区域一,解因为没有对称性所以不能直接利用对称性计算二重积分但如果作一条辅助线,一护把分成和如图,则对称于轴,对称于轴‘又被积函数二,一二二抓厂斗少」是关于的奇函数,而抓扩少是关于的奇函数,故由对称性有尸·,工。少工,〔,,。、,。且一井一刀,由二重积分的性质及对称性有‘一工。且抓了犷」一万二〔,抓,〕·井刀几汗日,夕,叮十押厂,。,,一日一乙工一二,。二一二,一二“勺兮一”本题通过把不是对称的区域分成两块具有,和

6、,,对称性的区域再用对称性计算大大简化了运算过程二、积分区域对称于坐标原点定一,十,,,理设平面区域且关于原点对称,则当上的连续函数,刃满足图,妇一一二一时,有,,,,,,一且一井,一一一,一时,刃有·二,,’。一少”户少证明从略,,一其中“是由例计算万,一,一以及一。所围成的闭区域,,,解如图对称于坐标原点但被积函,一一,一,,数不满足了刃刃也不满足户,,,图,一了一一故不能直接应用定理计算但记工科数学第卷、,,,一,,,,一,一,一户,且,一一一,一刃,户一刃这时刃刃由,定理得,,且一一且一工

7、,,而二,。所以且一且一刀汗日··,一夕口一井