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1、55第卷第期龙岩师专学报4%∗6%’5!!∀年#月∃%&∋()∗%+,%(−.)(/0)010∋23%∗∗0−07&−!!∀重积介的对称性问题’邱维敦〔提要〕本文给出利用对称性计葬积分的二个定理及应用这二个定理计葬重积分的例子。〔关键词〕偶函数奇函数对称性重积分,8),),在计算重积分时经常用到下述重要性质若+9:;在〔一〕可积则·=“,‘一,,,<、」+9:;为偶函数「)<丁>、:少&:一∃)—。+9:;为奇函数,,,。因此当一个函数在对称区间上积分时先设法将它分解为一个奇函数和一个偶函数这样可使计算大大
2、简化同,,,样在重积分的计算时也可利用对称性简化计算本文给出了利用对称性计算重积分的二个定理及应用这二个定理计算重积分的例子。,定义:.;在定义域?内满足关系式若函数+9:,:,+9一.;≅+9.;,,9即关于.是偶函数;时称+9:.;关于Α:轴对称,,若函数+9:.;在定义域?内满足关系式:,:,+9一.;二+9.;,。9即关于:是偶函数;时称它关于%.轴对称∗:,。定理设+9.;是定义在区域?上的连续函数、:,当区域?关于%轴对称时则!,!,当∀#也关于∃轴对称时有二,。,∀#&一。%∋。上(位于∃!其中(为区
3、域轴之上方部分!,,!,!,,)当∀#关于∀是奇函数即一∀#∗一∀#时则有!,∀。#&∃%一+、区域∀,(关于,轴对称则,,−#!∀#也关于∃∀轴对称时有!,。!,。。∀#&一+∀#&%%右(∀.其中(为区域位于,轴之右方的部分!,!,!,!,,+#当∀#关于是奇函数即一∀#/一∀#时有一。’琴∀,‘一0收稿日期+112一3+一+4龙岩师专学报第卷、,区域?关于%:轴和Α夕轴都对称则!,!,当∀#也关于∃轴与∃∀轴都对称时有,!∀#&‘刀叭伴日一,&亚5∀件,.其中(是区域(在第一象限中的部
4、分!,!,∀#!,∀#/一!,∀#,)当一∀#/一或一时有!,。。,∀#&一。%证0明由二重积分性质知!,∀#&。,!,∀#&。!,∀#&。一6%%%上,下(!、。其中((分别是区域位于∃轴之上方下方的部分55/0!,7上作变量替换#任(∀∗一8则二一9一−嗜备锐!,∀#!,!,!,∀#,若关于∃轴对称即一∀#/时!,∀#&。!,7、!7!,7!7!,∀#&。一,一二%.&&一#&&一%且且%(,(‘(‘(‘‘一:」%」..,。了开!;#&。一+井、!;,&。((上。图同理可证其余结论一#<。,,
5、=一;!∀!,二;,,、,二&&由一。一一∋汗,。!6∀>−围成如图一#!,解,.’区域(关于,轴对称被积函数!,=二,∀#一∀关于∀是奇函数.。了=一!&∀一。州%+!∀+#&!,例计算6∀6+&∀其中。是圆亚(!,6之≅!≅,#,周∀/?所围成的区域Α如图二#!,Β!,∀#/∀解区域(关于∃轴对称/关于∀是奇函数。.。0∀&!≅∀一。%又!6,!,?∀#关于,轴对称0.!十0!!+!?∀#&&∀一+6+∀#&&∀%井((Χ二,!6+!Δ6+∀+!∀6+∀#&&∀一?#&&∀亚%((∋甜月尸%+3勺‘ϑ一,≅,甲1自
6、∃ϑΙ∃∃‘一甲:Η∃Γ甲6ΕΓΦ甲Ε&:,,,∋≅、一兀≅、上宁,图二#万、!,∀,!,∀,Β0,定理+−积分区域Κ关于面对称则−#若#关于是偶函数即+3期邱维敦8第重积分的对称性问题:,,Β:,,Β+9.一;≅+9.;,:,.,8.Ε,,·’。时有Χ9;Δ一=>9.’Δ皿皿Φ上5上.其中4是区域Φ在:%平面之上方部分:,.,8Γ,9=;若+9;关于是奇函数即‘:,.,Β:,.,8,+9一;≅一+9;时有>9一,Δ一。。皿、.,,,8:,=区域4关于%Β平面对称则9;若+9:.;关于是偶函数有二,.,Β.:,.,8.
7、5+9;Δ一。>9;Δ皿皿Φ苗其中54在8。4是区域.%平面之前面的部分:,,=:,9=;若+9.;关于是奇函数有:,,·。+9.,Δ。皿一、区域:%8,;+9:,.,Β;.,4关于平面对称则9若关于是偶函数有:,.,8.:,.,Β.,9;Δ一=+9;Δ皿皿ΦΦ六4右:8。其中是区域4在%平面之右边部分:,,Β,9=;若+9.;关于.是奇函数有:,,··+9.,Δ。皿一Η、:,,Β:%、:%8%8,若区域4和被积函数+9.;关于.面面和.面都对称则二,.,Β.:,.,8.,9;Δ一。,9;Δ皿皿其中Ι。4为4在第一卦取限
8、部分证明8由三重积分的性质知Ε,,·:Β.8.+9.,Δϑ+9.;Δ十+9:.;Δ皿皿皿9;ΦΚΦ下上、下:%、。其中44分别是在.平面之上下方部分8二二哎、ΜΜΕΕ+:,,Β上作变量替换.≅.9.;任4Γ二二二Λ—。则,∃一Ν一肇岩聂5,,,8当:.8;8+9关于是函数时·,Ο8·+9+9,,,
