二重积分积分区域的对称性

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1、情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称，则1)当（即是关于的奇函数）时，有.2)当（即是关于的偶函数）时，有.其中是由轴分割所得到的一半区域。例5计算，其中为由与围成的区域。解：如图所示，积分区域关于轴对称，且即是关于的奇函数，由定理1有.类似地，有：定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称，则其中是由轴分割所得到的一半区域。例6计算其中为由所围。解：如图所示，关于轴对称，并且，即被积分函数是关于轴的偶函数，由对称性定理结论有：.定理6设二元函数在平面区域连续，且关于轴和轴都对称，则（1）当或时，有.（2）当时,有其中为由轴和轴分割所的到的1/4区域。9

2、例7计算二重积分，其中：.解：如图所示，关于轴和轴均对称，且被积分函数关于和是偶函数，即有，由定理2，得其中是的第一象限部分，由对称性知,，故.情形二、积分区域关于原点对称定理7设平面区域,且关于原点对称,则当上连续函数满足1)时,有2)时,有.例8计算二重积分,为与所围区域.解:如图所示,区域关于原点对称,对于被积函数,有,有定理7,得.情形三、积分区域关于直线对称定理8设二元函数在平面区域连续,且,关于直线对称,则1);.2)当时,有.3)当时,有.例9求,为所围.解:积分区域关于直线对称,由定理8,得,故.类似地，可得：定理9设二元函数在平面区域连续,且,关于直线对称,则（1）当,则有；

3、(2)当,则有.例10计算,其中为区域:,.解:如图所示,积分区域关于直线对称,且满足,由以上性质,得:.注：在进行二重积分计算时,善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。