三重积分对称性.pdf

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1、一、利用柱面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间内一点，并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r,，则这样的三个数r,,z就叫点M的柱面坐标．z规定：0r,M(x,y,z)02,oryz.P(r,)x2015年11月4日5时11分1如图，三坐标面分别为zr为常数圆柱面；为常数半平面；M(x,y,z)z为常数平面．z柱面坐标与直角坐ory标的关系为P(r,)xrcos,xyrsin,zz.2015年11月4日5时11分2z如图，柱面坐标系rd中的体积元素为drrdzdvrdrddz,oy

2、f(x,y,z)dxdydzdxf(rcos,rsin,z)rdrddz.2015年11月4日5时11分3例1计算Izdxdydz，其中是球面22222xyz4与抛物面xy3z所围的立体.xrcos解由yrsin,知交线为zz22rz4z1,r3,2r3z2015年11月4日5时11分4把闭区域投影到xoy面上，如图，2r2:z4r，30r3,02.2234r13Iddr2rzdz.00r432015年11月4日5时11分522例２计算I(x

3、y)dxdydz，其中2是曲线y2z，x0绕oz轴旋转一周而成的曲面与两平面z2,z8所围的立体.2y2z解由绕oz轴旋转得，x022旋转面方程为xy2z,所围成的立体如图，2015年11月4日5时11分6所围成立体的投影区域如图，22D1:xy16,020r4D:,D2121rz82020r2D:224,2xy2:2.rz222015年11月4日5时11分7III122222(xy)dxdydz(xy)dxdydz,128524842I1rdrd

4、r2fdzddrrrdz,r220023D15222222I2rdrdr2fdzddr2rrdz,00r226D25542原式I336.362015年11月4日5时11分8二、利用球面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间内一点，则点M可用三个有次序的数r，，来确定，其中r为原点O与点M间的距离，为有向线段OM与z轴正向所夹的角，为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角，这里P为点M在xoy面上的投影，这样的三个数r，，就叫做点M的球面坐标．2015年11月4日5时11分9规定：0r

5、,0,02.如图，三坐标面分别为r为常数球面；为常数圆锥面；为常数半平面．2015年11月4日5时11分10如图，z设点M在xoy面上的投影为P，rM(x,y,z)点P在x轴上的投影为A，zoxy则OAx,APy,PMz.AyPx球面坐标与直角坐标的关系为xrsincos,yrsinsin,zrcos.2015年11月4日5时11分11如图，zdr球面坐标系中的体积元素为drsinrsindrd2rdvrsindrdd,doyf(x,y,z)dxdydzdx2f(r

6、sincos,rsinsin,rcos)rsindrdd.2015年11月4日5时11分1222例3计算I(xy)dxdydz，其中是锥面222xyz，与平面za(a0)所围的立体.解1采用球面坐标azar,cos222xyz,4a:0r,0,02,cos42015年11月4日5时11分1322I(xy)dxdydza2d4dcosr4sin3dr000531a24sin(0)d505cos5a.102015年11月4日5时11分1

7、4解2采用柱面坐标222222xyzzr,D:xya,:rza,0ra,02,222aa2I(xy)dxdydzdrdrrdz00r45a3aa52r(ar)dr2[a]a.045102015年11月4日5时11分15222222例4求曲面xyz2a与zxy所围成的立体体积.解由锥面和球面围成，采用球面坐标，2222由xyz2ar2a,22zxy,4:0r2a,0,02,42015年11月4日5时