二重积分和三重积分的对称性及奇偶性

《二重积分和三重积分的对称性及奇偶性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性,常常使二重积分的计算简化许多,避免出现繁琐的计算.但在使用该方法时,要同时兼顾到被积函数f(x,y)的奇偶性和积分区域D的对称性两方面,常用结论如下:(1)如果区域D关于y轴对称,则有(a)当f(−x,y)=−f(x,y)时((x,y)∈D),∫∫f(x,y)dxdy=0;D(b)当f(−x,y)=f(x,y)时((x,y)∈D),∫∫f(x,y)dxdy=2∫∫f(x,y)dxdy,DD1其中D={(x,y)

2、(x,y)∈D,x≥0}).1(2)如果区域D关于x轴对称,则有

3、∫∫f(x,y)dxdyD0,f(x,−y)=−f(x,y)=2∫∫f(x,y)dxdy,f(x,−y)=f(x,y),D20,f(x,−y)=−f(x,y)=2∫∫f(x,y)dxdy,f(x,−y)=f(x,y),D2其中D={(x,y)

4、(x,y)∈D,y≥0}).2(3)如果D关于原点对称,则∫∫f(x,y)dxdyD0,f(x,−y)=−f(x,y)=2∫∫f(x,y)dxdy,f(x,−y)=f(x,y),D3其中D是D被过原点的直线切割的一半.30,f(x,−y)=−f(x,y)=2∫∫f(x,y)dx

5、dy,f(x,−y)=f(x,y),D3其中D是D被过原点的直线切割的一半.30,f(x,−y)=−f(x,y)=2∫∫f(x,y)dxdy,f(x,−y)=f(x,y),D3其中D是D被过原点的直线切割的一半.3(4)如果D关于y=x对称,则∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(y,x)dxdy.DD完补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．一般地，当积分区域Ω关于xoy平面对称，且被积函数f(x,y,z)是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函

6、数f(x,y,z)是关于z的偶函数，则三重积分为Ω在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．一般地，当积分区域Ω关于yoz平面对称，且被积函数f(x,y,z)是关于x的奇函数，则三重积分为零，若被积函数f(x,y,z)是关于x的偶函数，则三重积分为Ω在yoz平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴

7、的奇偶性．一般地，当积分区域Ω关于xoz平面对称，且被积函数f(x,y,z)是关于y的奇函数，则三重积分为零，若被积函数f(x,y,z)是关于y的偶函数，则三重积分为Ω在xoz平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.三、小结柱面坐标三重积分换元法球面坐标（1）柱面坐标的体积元素dxdydz=rdrdθdz（2）球面坐标的体积元素2dxdydz=rsinϕdrdθdϕ（3）对称性简化运算思考题3若Ω为R中关于xy面对称的有界闭区域，f(x,y,z)为Ω上的连续函数,则当f(x,y,z)关于____z为奇函数时,∫∫∫f(x,y,z)dv=0;Ω当f(

8、x,y,z)关于____z为偶函数时,∫∫∫f(x,y,z)dv=___2∫∫∫f(x,y,z)dvΩΩ1其中Ω为Ω在xy面上方的部分.1