二重积分及三重积分地计算

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1、实用标准文案第一部分定积分的计算一、定积分的计算例1用定积分定义求极限..解原式==.例2求极限.解法1由，知，于是.而，由夹逼准则得=0.解法2利用广义积分中值定理（其中在区间上不变号），由于，即有界，，故=0.注（1）当被积函数为或型可作相应变换.如对积分，可设；对积分，由于，可设.对积分，可设（2）的积分一般方法如下：精彩文档实用标准文案将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母，可求出，.则积分例3求定积分分析以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根

2、式.解法1解法2小结（定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元时还应注意：（1）应为区间上的单值且有连续导数的函数；（2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4计算下列定积分（1），；（2）解（1）精彩文档实用标准文案=故=.（2）这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：小结（1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为[0，a]时，设;积分区间为[-a,a]

3、时，设。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。（2）利用例10.6(2)中同样的方法易得精彩文档实用标准文案例5设在上具有二阶连续导数，，且，求解故小结（1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择的原则；（2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.例6计算定积分（为自然数）.解是以为周期的偶函数.例7证明积分与无关，并求值.解，于是┃小结收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.精彩文档实用标准文案二、含定积分的不等式的证明例8

4、证明（1）；.证（1）在上连续，令，得.比较与的大小，知在上的最大值为，最小值为，故（2）由于以为周期，而，因为，所以┃事实上，（2）中所给变上（下）限定积分与无关，仅为取正值的常数.例9设是上单调减少的正值连续函数，证明证利用积分中值定理，精彩文档实用标准文案（因为递减取正值）.即┃例10设在上连续且单调递增，证明：当时，有（10．1）分析将定积分不等式（10．1）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。将要证的不等式两端做差，并将换成，作辅助函数，即需证证作，则（因为递增，）于是，

5、由拉格朗日中值公式，有即式（10．1）成立.例11设在上连续，且，证明分析利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计证因为在上连续，故有界，即存在，使，故┃例12设在上二阶可导，且，证明精彩文档实用标准文案分析已知二阶可导，可考虑利用的一阶泰勒公式估计；又所证的不等式中出现了点，故考虑使用处的泰勒公式.证在处的一阶泰勒公式为，其中，在与之间.利用条件，可得，两边从到取积分，得┃小结关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法：（1）利用定积分的保序性；（2）利用积分上限函数的单调性.三、定积分

6、的应用例13求由曲线与直线及所围成的图形分别绕轴、轴及旋转一周所成的旋转体的体积.解（1）绕轴旋转，积分变量为精彩文档实用标准文案（2）绕轴旋转（3）绕＝1旋转解法1取为积分变量，，直线及和双曲线的交点及的纵坐标分别为和.设平面图形，及（见图11—8）绕轴旋转而成的立体的体积分别为和，则所求旋转体的体积为解法2取为积分变量，，将分成两部分区间：和.在上，体积元素为在上，体积元素为故所求体积为解法3选为积分变量，.将旋转体分割成以轴为中心的圆柱形薄壳，以薄壳的体积作为体积元素，这一方法称为柱壳法.对应

7、于区间的窄曲边梯形可近似地看做高为，宽为的举矩形，它绕轴旋转而成的圆柱形薄壳的体积，即体积元素为精彩文档实用标准文案因此有（3）绕旋转选为积分变量，.体积元素为所求体积为小结（1）在直角坐标系中求旋转体体积时，被积函数总是正的，定限时要注意积分下限一定小于上限.（2）选取哪个变量作为积分变量，才能使运算更为简便，要根据具体问题，灵活选取.一般地若平面中的平面图形是由曲线与直线所围成，则分别绕轴、轴旋转所得旋转体体积为第二部分二重（三重）积分一、重积分的计算及技巧总结计算二重积分的基本方法是化为二次积

8、分，其关键是确定积分次序和确定积分限.所遵循的原则是：1．直角坐标系下确定积分次序的原则（1）函数原则内层积分能够求出的原则.精彩文档实用标准文案例如一定应先对积分，后对积分.例如一定应先对积分，后对积分.（2）区域原则若积分区域为型（即用平行于轴的直线穿过区域，它与的边界曲线相交最多为两个点），应先对积分，后对积分.若积分区域为型（即用平行于轴的直线穿过区域，它与的边界曲线相交最多为两个点），应先对积分，后对积分.若积分区域既为型区域，又为型区域，这时在函数原则满足