二重积分地概念与性质.ppt

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1、第六章二重积分6.1.1二重积分的概念与性质柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积二重积分的概念求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．解法:类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xOy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“

2、大化小,常代变,近似和,求极限”1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令二、二重积分的定义定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,则曲顶柱体体积:如果在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．二重积分存在定

3、理:若函数定理2.定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.性质１当为常数时，性质1+（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质2对区域具有可加性性质3若为D的面积，性质4若在D上特殊地则有无公共内点，则性质5性质6（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）解解解思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的

4、一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上例2.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D例3.判断积分的正负号.解:分积分域为则原式=猜想结果为负但不好估计.舍去此项4.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有被积函数相同,且非负,解:由它们的积分域范围可知5.比较下列积分值的大小关

5、系:6.设D是第二象限的一个有界闭域,且0