二重积分的概念与性质

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1、一、二重积分的概念二、二重积分的性质§7.1二重积分的概念与性质上页下页铃结束返回首页第七章重积分本章和下一章属于多元函数积分学，是一元函数积分学的推广，二重积分是二元函数在平面有界闭区域上的积分，三重积分是三元函数在空间有界闭区域上的积分。我们重点讨论二重积分。三重积分作为二重积分的推广。定积分曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.1.曲边梯形的面积下页复习观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎

2、样求曲边梯形的面积？动画演示下页求曲边梯形的面积(1)分割:ax0

3、时间段[ti1,ti]内所经过的路程近似为DSiv(i)Dti(ti1<i

4、,且极限值与区间[a,b]的分法和xi的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为即下页定积分各部分的名称————积分符号,f(x)———被积函数,f(x)dx——被积表达式,x————积分变量,a————积分下限,b————积分上限,[a,b]———积分区间，定积分的定义二、定积分定义———积分和.下页定积分的定义二、定积分定义说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即下页函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在区间[a,b]上可积.定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f

5、(x)在区间[a,b]上可积.定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定积分的定义二、定积分定义下页定积分的几何意义当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.这是因为下页一般地,f(x)在[a,b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.定积分的几何意义当f(x)0时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线yf(x

6、)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.下页三、定积分的性质两点规定下页这是因为三、定积分的性质性质1下页三、定积分的性质性质1性质2>>>性质3>>>注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立下页三、定积分的性质性质1性质2性质3性质4下页推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则这是因为g(x)f(x)0从而所以如果在区间[ab]上f(x)0则性质5下页这是因为

7、f(x)

8、f(x)

9、f(x)

10、,所以推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5推论2下页即性质6证明推论1如

11、果在区间[ab]上f(x)g(x)则如果在区间[ab]上f(x)0则性质5推论2性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则下页如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点x使下式成立这是因为,由性质6性质7(定积分中值定理)——积分中值公式由介值定理,至少存在一点x[a,b],使两端乘以ba即得积分中值公式.结束积分平均值公式下页1曲顶柱体的体积设一立体的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线