二重积分的概念与性质课件

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1、2.1二重积分的概念与性质Chapter2DoubleIntegrals二重积分我们已学习了定义在区间[a,b]上的(分段)连续有界一元函数的定积分的概念、性质、计算与应用。今天，我们讨论多元函数的重积分问题。柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，（1）先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变

2、量被积表达式面积元素对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为z性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质----------线性性性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）解解解解**二重积分的对称性利用对称性可以简化二重积分的计算，在运用时

3、必须注意被积函数与积分区域两个方面的对称性要相互匹配。二重积分的对称性归纳如下几种情形。一般来说，设在D上连续，则存在。（1）D域关于y轴对称，，那么1°当时，I=02°当时，，其中且二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数

4、为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答练习题练习题答案求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．