6.7 二重积分的概念与性质

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1、第6章多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质习题解1．利用二重积分定义证明：。【证明】由二重积分定义，得，证毕。2．利用二重积分的几何意义说明：（为常数，为积分区域的面积）。【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分就是以为曲顶的柱体体积，于是知，二重积分表示以平面为顶的柱体体积，而以平面为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高，但该柱体的底面积就是积分区域的面积，从而得，。3．利用二重积分的性质估计下列积分的值：⑴，其中积分区域；【解】由于区域，可知区域的面积为，而由于，，可得，，从而有，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得亦即为。⑵，其中积分区域；5第6章多元函数微积分6.7二

2、重积分的概念与性质习题解【解】由于区域，可知区域的面积为，而由于，，可得，从而，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得亦即为，整理得。⑶，其中积分区域。【解】由于区域，可知区域的面积为，下面求函数在条件下的最大、最小值，亦即椭圆抛物面在圆柱内部的最大、最小值，易见，可知，当时等号成立，又可知，椭圆抛物面与圆柱的交线，在椭圆簇的短轴上达到最高，亦即当，时，函数取得最大值，最大值为，因此得，，由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得亦即为，整理得。4．利用二重积分的性质比较下列积分的大小：⑴与，其中积分区域D由轴，轴与直线所围成。【解】积分区域D如图5第6章多元函数微积分6.7二重积分

3、的概念与性质习题解由图可见，在区域D中，，于是由于函数（）是减函数，而知以为底的指数函数是增函数，即由有，于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得。⑵与，其中。【解】积分区域D如图由于在区域D中有，，可得，于是，于是由于函数（）是增函数，可知以为底的指数函数是增函数，即由得，于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得。5．若，则积分区域D可以是（）。（A）由轴，轴与直线所围成的区域；（B）由，及，所围成的区域；（C）由，所围成的区域；（D）由，所围成的区域。【解】应填“（C）”。因为，而下面各区域D的面积为：（A）由轴，轴与直线所围成的区域如图5第6章多元函数微积分6.7二重积

4、分的概念与性质习题解得；（B）由，及，所围成的区域如图得；（C）由，所围成的区域如图得；至此，可以终止判断了。事实上有：（D）由，所围成的区域如图得。5第6章多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质习题解5