二重积分的概念与性质教案

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1、7.1二重积分的基本概念（教案）主讲人：孙杰华教学目的：理解二重积分的概念、性质教学重难点：二IE积分的概念、二重积分的儿何意义.教学方法：讲授为主教学内容：一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积设有一空间立体O,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以Q的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面，它的顶是llll^z=f（x.y）,称这种立体为Illi顶柱体.与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样來求曲顶柱体的体积V:（1）用任意一组曲线网将区域D分成料个小区域A©,A

2、顶柱体AQ,,AQ2,…，AQ”.（假设g所对应的小曲顶柱体为AQz,这里△込既代表第i个小区域,又表示它的面积值,A霭既代表第i个小曲顶柱体，乂代表它的体积值.），从而V=£込.;=1图7.1⑵山于/（忑刃连续，对于同一•个小区域来说，函数值的变化不大•因此，可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体，于是AQ,«/(《•,%)Aq・,(0(6,%)wAq).(3)整个Illi顶林体的体积近似值为f=I(4)为得到V的精确值，只需让这n个小区域越來越小，即让每个小区域向某点收缩.为此，我们引入区域玄径的概念：一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最人者.所谓让区域向一点收缩性地变小，意

3、指让区域的直径趋向于零.设斤个小区域直径中的最大者为/，则V=lim£久―>0.J=11.二重积分的定义设f(x,y)是闭区域D上的有界函数，将区域£>分成个小区域Acr1,Acr2,---,Acrn,其小，Aq既表示第i个小区域，也表示它的而积，&表示它的直径.2=max{&}Vw△込，

4、£)称Z为积分区域.2.对二重积分定义的说明:⑴极限lim£/人込的存在与区域D的划分及点(£.,%)的选取无关。久一>0.j/=!⑵JJf(x,y)d(y屮的tfri积元素db象征着积分和式屮的Act,.图7.2由于二重积分的定义小对区域D的划分是任意的，若用一-组平行于处标轴的肓线来划分区域Q,那么除了靠近边界Illi线的一些小区域Z外,绝人多数的小区域都是矩形，因此，可以将db记作dxdy(并称为直角坐标系卜-的面积元索)，二重积分也可表示成为\f^y)dxdy.D(3)二重积分的存在定理若.f(兀,y)在闭区域D上连续，则/(x,y)在D上的二重积分存在.注在以后的讨论中

5、，我们总假定在闭区域上的二重积分存在.⑷若/(x,y)>0,二重积分表示以/(x,y)为曲顶，以D为底的曲顶柱体的体积.练习：利用二重积分的几何意义求^a2-x2-y2da,其屮D/。二、二重积分的性质二重积分•定积分有相类似的性质性质1(线性性)flW(兀)?)+0g(兀,y)]dcr=町]7(兀,y)dcr+0JJg(x,y)daDDD其中：Q,0是常数.性质2(对区域的可加性)若区域D分为两个部分区域0,，则\f^,y）da=^f（x,y）cla+f/crDD}D2性质3若在£>上，/（x,y）三1,cr为区域D的面积，则a=JJ1do=jjdb.DD儿何意义:高为1的平顶柱

6、体的体积在数值上等于柱体的底面积.练习：求

7、

8、Sdxdyox2+y2<3性质4若在D上，/（兀』）50（兀』），则冇不等式,y）

9、/（x,y）

10、§f（兀，歹）§f（兀，）0

11、，有Jf/(兀,y)db上至少存在一点（§,〃），使得JJ7（兀,y）db=/（§,〃）bD三、小

12、结：二重积分的定义；二重积分的儿何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质.四、作业：P119,2