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1、第5卷第3期英才高职论坛Vol.5No.32009年8月TheForumofYingcaiHigherVocationalEducationAug.2009三重积分的对称性及其应用王子子（山东英才学院基础部，山东济南250104）摘要：将一元奇偶函数及其在对称区间上的积分公式进行推广，得到了三元奇偶函数在对称区域上的定义及其积分公式，并给出了积分区域关于积分变量轮换对称时三重积分的计算方法，以简化某些积分的计算。关键词：奇函数；偶函数；对称区域；坐标平面；轮换众所周知，利用函数的奇偶性可简化定积分的计算，把?x?(1?A?)x?ABy??ACz??AD?这一思想方法应用于
2、三重积分，可得到类似的结果．?得点的坐标为?y??ABx??(1?B?)y?BCz??，BD?P?1积分区域关于某平面对称的情形?z??ACx??BCy??(1?C?)z?CD?11.1空间对称区域上三元奇偶函数的定义其中?????222xxA?B?C?x?设u?fxyz(,,)?fM()是定义在以平面?为对称平?2??面的三维区域?上的三元函数，MM???（与MM?关于???y?y?y由于P点又是MM?连线的中点，所以?2，互为对称点），?z?z??z?若??fM(?),u?fM() ????2fM()???fM(?)
3、,u?fM()
???x??(12?A?)x?2ABy??2ACz??2AD?1.2三元奇偶函数在对称区域上的积分公式及证明从而进一步得：?????????．y2ABx?(12B?)y2BCz?2BD????z???2ACx??2BCy??(12?C?)z?2CD?上述定义中，若以?为对称平面将区域?分为?与?两部分，则?的体积＝??的体积，当M??时，M????，11???f(,,)xyzdxdydz????fxyzdxdydz(,,)????fxyzdxdydz(,,)??????且有而，?0,(,,)
4、fxyz?f(,xyzdxdydz???,)??????fxyzdv(,,)??????（1）对???作变换：2fxyzdvfxyz(,,)(,,)????x??(12?A?)x?2ABy??2ACz??2AD???y???2ABx??(12?B?)y?2BCz??2BD?事实上，设区域?以平面?：Ax?ByCz??D?0为??z???2ACx??2BCy??(12?C?)z?2CD?对称平面，Mxyz(,,)??，则Mxyz?(0???,0,)0???1.下面雅克比式：找出MM?的关系．12?A??2AB?2AC
5、?AABAC设过点MM?的直线为l，由于直线与平面垂l?J??2AB?12?B??2BC????(1)2?ABBBC??1直，因此直线l的方程为：?2AC??2BC?12?C?ACBCCx?x0y?y0z?z0，??当f(xyz,,)为?上的奇函数时，f(xyz?,??,)??fxyz(,,)，ABC设直线l与平面?的交点为P(xyz,,)，解方程组因此；???f(,,)xyzdxdydz???????????fxyzJdxdydz(,,)?????fxyzdxdydz(,,)?????Ax?By?Cz?D?0??x?x0y?y0z?z0当f(xyz,,)
6、为?上的偶函数时，f(xyz?,??,)?fxyz(,,)，????ABC因此???f(,,)xyzdxdydz??????????fxyzJdxdydz(,,)????fxyzdxdydz(,,)，收稿日期：2009-06-23作者简介：王子子（1982-），女，硕士，山东英才学院基础部教师。第3期王子子:三重积分的对称性及其应用63故有例1.设有空间闭区域??{(,,)xyzx?y??zRz,?0}，?0,(,,)fxyz?2222，??2?{(,,)xyzx?y?z?Rx,?0,y?0,z?0}???fxyzdv(,,)??2?
7、??fxyzdvfxyz(,,)(,,)??则有()?1.3空间区域关于坐标平面对称的情形A．???xdv?4???xdvB．???ydv?4???ydv??xOy作为上述问题的特例，当?取坐标平面时，我们有：???zdv?4???zdv???xyzdv?4???xyzdvC．D．??设?关于坐标平面xOy对称，即若Mxyz(,,)??，解：先说明A不正确．由于?1关于yOz面对称，而被则其对称点Mxy?(,,?z)??．积函数x关于x是奇函数，故???xdv?0，而??
