三重积分的应用.doc

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1、三重积分的应用教学目的：掌握三重重积分在体积，质量，重心、转动惯量等方面的应用。教学重点：空间物体的质量，重心、转动惯量的求法。教学难点：三重积分的应用。教学内容：一、立体的体积由三重积分的几何意义知例1求曲面与所围成的立体体积.解由锥面和球面围成，采用球面坐标，由由三重积分的性质知,二、空间物体的质量由三重积分的物理意义知，当物体在处的体密度为时，其质量为例2设一物体是由平面上的曲线绕轴旋转而成的曲面与平面=5所围成的闭区域，在任一点的体密度为=，求物体的质量。解曲线绕轴旋转得的旋转抛物面方程为,故由抛物面与z=5所围成．知，在xoy平面上的投影为．由三重积分的物理意义知.物体的质量为:M

2、===三、重心设是密度为的空间物体，在上连续，因的质量为，对平面的静力矩为，由重心坐标的概念有，以分别表示的重心的各个坐标，应有，所以类似地有:若为常数，则例3求密度均匀的上半椭球体的重心．解：设椭球体方程为，表示由对称性知==0，而=三、转动惯量质点对轴的转动惯量是质点的质量和到转动轴的距离的平方的乘积，即.当讨论空间物体的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体的密度函数为，它对轴的转动惯量为=，同样地=，=，对平面的转动惯量为=，对平面的转动惯量为=，对平面的转动惯量为=，对原点的转动惯量为=.例4设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量．解：设

3、球体由式表示，密度函数为，则它对切平面的转动惯量为==.例5.求边长为密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量.解:如图,求设密度为,则