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1、重积分、第一类积分答疑解惑2问题1、为什么说设f(,)xy在区域DR⊂上可积，若D的的形状关于x轴对称，当f(,)xy−=−fxy(,)时，∫∫fxydxdy(,)=0；当f(,)xyfxy−=(,)时，Df(,)xydxdy=2fxydxdy(,)，其中D为D中位于x轴上方的部分？∫∫∫∫1DD1答：设f(,)xy在DDD=∪上可积，其中DD,是D中位于x轴上、下方的1212部分，由积分的可加性知，f(,)xy在DD,上均可积，且12∫∫fdxdy=+∫∫fdxdy∫∫fdxdy.若f(,)xy−=−fxy(,)，DDD12以直线族x==>=xyy,(0),i1,2,",n将D分割，并对D
2、作相应(对称)的分割，ii12(1)即以x=x,以及y=−=yi,1,2,,"n对D分割.取D为D中的第k个子区域，ii2k1(2)(1)(2)相应地，在D中有子区域.DD,与D关于x轴对称.2kkk(1)(2)(1)∀∈≥(,)ξηD(η0)，则∃−∈(,)ξηD，记λ=max{D的直径}，则kkkkkkkk2n∫∫fxydxdy(,)=Δlim∑f(,)ξkkησk，λ→0Dk=112n∫∫fxydxdy(,)=−lim∑f(,ξkkkησ)Δλ→0Dk=122n=−lim∑f(,ξησkk)Δk=−∫∫fxydxdy(,)，故∫∫fxydxdy(,)=0.λ→0k=1DD1同理，若f(
3、,)xyfxy−=(,)，则∫∫f(,)xydxdy=2∫∫fxydxdy(,)DD112问题2、若区域DR⊂关于直线y=x（或y=−x）对称，且f(,)xy=−fyx(,)(或f(,)−−=−yxfxy(,))，是否有∫∫fxydxdy(,)=0？D答：结论成立。因为点(,)xy的关于y=x的对称点为(,)yx，而它关于y=−x的对称点为(,)−−yx，用与上一个问题完全类似的方法可证明结论正确。类似，若记DD,分别为直线y=x(或y=−x)上方、下方的区域，则当12f(,)xy=fyx(,)（或f(,)(,)−−=yxfxy）时，∫∫f(,)xydxdy==2∫∫fxydxdy(,)2∫
4、∫fxydxdy(,)DDD12问题3、在二重积分中，可利用积分区域D和被积函数f(x,y)的对称性求二重积分，在三重积分中是否也有类似方法？答：在三重积分中，也可利用积分区域Ω和被积函数f(,,)xyz的对称性求三重积分，比如(i)设Ω的形状关于xy平面对称，若f(,,)xyz−=−fxyz(,,)，则∫∫∫fxyzdv(,,)=0；Ω若f(,,)xyz−=fxyz(,,)，则∫∫∫f(,,)xyzdv=2∫∫∫fxyzdv(,,)，ΩΩ1其中Ω为Ω中位于xy平面上方的部分。1(ii)类似可的Ω关于xz面对称，而f(,,)xyz是y的奇、偶函数的结论；以及Ω关于yz面对称，而f(,,)xy
5、z是x的奇、偶函数的结论。(iii)若Ω关于平面y=x对称，2若f(,,)yxz=−fxyz(,,)，则∫∫∫fxyzdv(,,)=0；Ω若f(,,)yxz=fxyz(,,)，则∫∫∫f(,,)xyzdv=2∫∫∫fxyzdv(,,)，ΩΩ1其中Ω是Ω中位于平面y=x前方的部分。1dx22()yz(,)xy问题4、在三重积分公式∫∫∫f(,,)xyzdxdydz=∫cxdy∫()yzdx∫(,)xyfxyzdz(,,)11Ω中，三重积分可化为三个定积分(三次积分)计算，其实质是化为先求一个定积分，再求一个二重积分，称为“先一后二”法,那么，三重积分是否可化为先求一个二重积分，再求一个定积分呢
6、？答：三重积分也可化为先求一个二重积分，再求一个定积分来计算，称为“先二后一”法，比如设Ω满足CC≤z≤，并且以平行于xy面的平面z=常数(z)截12c2Ω所得平面区域为D，如图2—8，则f(,,)xyzdv=dzfxyzdxdy(,,)z∫∫∫Ω∫c∫∫1Dz特别，若fxyzg(,,)=()z，即它与xy，无关，则cc22∫∫∫Ωf(,,)xyzdv==∫ccdz∫∫g()zdxdy∫g()zDdzz11Dz其中D表D的面积，一般与z有关zz3被积函数只含有一个字母时，用“先二后一”法相对简便，读者应注意掌握。问题5、对弧长的曲线积分是否有几何意义，为什么？答：对弧长的曲线积分有几何意义，
7、几何意义如下：⎧Fxy(,)0=设曲面Σ：zzxy=(,)0≥与一个以xy平面上的曲线L：⎨为准线，⎩z=0母线平行于z轴的柱面Fxy(,)0=相交，则柱面夹在曲面Σ与xy平面之间部分的面积A，可以按下列方式求得（图2－12）：在曲线L上任取一点M(,)xy，并由此任取一小段弧MqN，其弧长记为Δs，在曲面Σ上点M'(,,(,))xyzxy与点M对应，相应地小柱面MMNN''的面积为ΔA=Δzxys(,)，按
