资源描述：
《7-7二重积分.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第七章多元函数微积分§7.7二重积分y∫lnxdx=xlnx−x+Cxo一、二重积分的概念和性质z=f(x,y)引例曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域DD顶:连续曲面z=f(x,y)≥0侧面是母线平行于z轴的柱面，求其体积V.平顶柱体f(x,y)≡h的体积V=h⋅
2、D.
3、曲顶柱体的“高”f(x,y)是变化的。“大化小,常代变,近似和,求极限”1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域zz=f(x,y)Δσ1,Δσ2,",Δσn以它们为底把曲顶柱体分为n个y小曲顶柱体ΔV(,i=,2,1",n)o(ξi,ηi)ix•Δσ2)“常代变”做平顶柱体i在每个Δσ
4、中任取一点(ξi,ηi,)则iΔV≈f(ξ,η)Δσ(i=,2,1",n)iiii3)“近似和”nnV=∑ΔVi≈∑f(ξi,ηi)Δσii=1i=14)“取极限”定义Δσ的直径为iλ(Δσi)=max{P1P2P1,P2∈Δσi}令λ=max{λ(Δσ)}i1≤i≤nnV=lim∑f(ξk,ηk)Δσkλ→0k=1二重积分的定义定义7.9设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的函数,将区域D任意分成n个小区域Δσ1,Δσ2,",Δσn任取点(ξi,ηi)∈Δσi,(i=,2,1",n)设λ是Δσ,Δσ,",Δσ中直径的最大值。12nn如果存在极限lim∑f(ξi,ηi
5、)Δσiλ→0i=1记之为∫∫Df(x,y)dσ，称为该函数在D上的二重积分n即有∫∫Df(x,yd)σ=lim∑f(ξi,ηi)Δσiλ→0i=1这时也称f(x,y)在D上可积。被积函数面积元素积分和n∫∫Dfx,(yd)σ=lim∑f(ξi,ηi)Δσiλ→0i=1积分域积分表达式x,y称为积分变量∑f(ξi,ηi)Δσi∫∫f(x,y)dσ>0如果f(x,y)在D上可积,可用平行坐标轴的直线来划分区域D,这时Δσk=ΔxkΔyk,因此面积元素dσ也常记作dxdy,二重积分记作∫∫f(x,yd)xdy.ΔxkDΔσkΔyk引例中,曲顶柱体体积:V=∫∫Df(x,y
6、d)σ=∫∫Df(x,yd)xdy可积性的有关定理定理A若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上可积.定理B若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除有限个点或有限条光滑曲线外都连续,则f(x,y)在D上可积.定理C若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积,则f(x,y)在D上有界.若f(x,y)在D上可积，则改变该函数在D上有限个点或有限条曲线上的函数值而得到的新函数仍可积，且积分值不变.二重积分的性质.1∫∫Dfk(x,yd)σ=k∫∫Df(x,yd)σ(k为常数).2∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ1，2统称线性性质D=∫∫Df(x,yd)
7、σ±∫∫Dg(x,yd)σ.3若将D分为两个区域D和D，则区域可加性12∫∫f(x,yd)σ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσDD1D2.4若在D上f(x,y)≡,1σ为D的面积,则σ=∫∫D1⋅dσ=∫∫Ddσ5.（单调性）若在D上恒有f(x,y)≤ϕ(x,y,)则∫∫Df(x,yd)σ≤∫∫Dϕ(x,yd)σ•保号性若在D上恒有f(x,y)≥,0则∫∫Df(x,y)dσ≥;0若在D上恒有f(x,y)≤,0则∫∫f(x,y)dσ≤.0D•∫∫f(x,y)dσ≤∫∫
8、f(x,yd
9、)σ.DD6.设M=maxf(x,y),m=minf(x,y),D的面积为σ,
10、DD则有mσ≤∫∫f(x,yd)σ≤MσD7.(中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,σ为D的面积,则至少存在一点(ξ,η)∈D,使∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)σD证:由性质6可知,1m≤∫∫f(x,yd)σ≤MDσ由连续函数介值定理,至少有一点(ξ,η)∈D使1f(ξ,η)=∫∫f(x,yd)σDσ因此∫∫f(x,yd)σ=f(ξ,η)σD二、二重积分的计算1．直角坐标系下二重积分的计算yy=ϕ2(x)若积分区域D可以表示为D⎧ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x)xD:⎨a⎩a≤x≤boy=ϕ1(x)bx则称D为X–型区域.当f(x,y)≥0时,则∫∫f(x
11、,y)dσ的值是以D为底,D以z=fx,(y)为曲顶的曲顶柱体体积．以此为例来讨论二重积分的计算由第六章中“平行截面面积为z已知的立体体积”的分析过程:y=ϕ2(x)dx任取x0∈[a,b,]平面x=x0截柱体yD截面积为ϕϕ22((xx0))oax0bxAA((xx0))==∫∫(x)ff((xx,0y,y)dd)yyϕ1(x)ϕ10y=ϕ1(x)故曲顶柱体体积为zz=f(x,y)b0V=∫∫f(x,yd)σ=∫aA(xd)xDbϕ2(x)=[f(x,yd)yd]xy∫∫xϕ(x)ϕ(x)aϕ1()1020bϕ2(x)记∫∫f(x,y)dσ=∫[∫
