设在区域D连续,试将二重积分化为不同顺序的累次积分.doc

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1、1．设在区域D上连续，试将二重积分化为不同顺序的累次积分：（1）D由不等式所确定的区域；（2）D由不等式所确定的区域；（3）D由不等式与所确定的区域；（4）；分析：先画出积分区域D的图形，然后根据积分区域D是X-型还是Y—型区域写出不同顺序的累次积分。解：（1）（2）（3）（4）.2．在下列积分中改变累次积分顺序：（1）；（2）；（3）；（4）；分析：首先由所给的累次积分上下限，正确画出积分区域图形。解：（1）=+(2)=+(3)=++(4)3．计算下列二重积分：（1），其中D由抛物线与直线所围成的区域

2、；（2），其中；（3），其中为图21-9中阴影部分；（4），其中；分析：把二重积分化为累次积分来求解。解：（1）==（2）==（3）=（4）==4．求由坐标平面及所围成的角柱体的体积.分析：先正确画出角柱体的形状，确定出角柱体在平面上的投影区域，由二重积分的几何意义得解：设为角柱体在平面上的投影区域.于是.5．设在上连续，证明不等式其中等号仅在为常量函数时成立.分析：利用定积分与积分变量无关的特性，即。所以=证明：因在上连续,故在上可积,从而=====且其中等号仅在时成立.6．设平面区域D在轴和轴的投影

3、长度分别为和,D的面积为,为D内任一点,证明:(1)(2)分析：由于,则利用来证明。证明：(1)由于,则从而(2)设D在轴和轴的投影分别为和,则.于是==由函数在上的最大值为知:7．设,其中表示有理数化成既约分数后的分母.证明在D上的二重积分存在而两个累次积分不存在.分析：将分解成，即，在对其分别证明证明：定义则类似与Riemann函数可积性的证明易知,都在D上可积,于是在D上可积,易见在D上可积.当取无理数时,,所以然而当取有理数时,在为无理数处,在为有理数处,因此函数在任何小区间上的振幅总大于,从而

4、函数关于上积分不存在,显然就不存在先后的累次积分,同理可证,先后的累次积分也就不存在.8．设,其中意义同第7题。证明在D上的二重积分不存在，而两个累次积分存在。分析：用反证法证假设在D上可积，则对任意分割T上，有令由于与中必有一个为既约分数，设为；设，则是既约分数且.从而.于是从而.但当时,.这与矛盾.故f在D上不可积.对固定的y,若y为无理数,则函数对任一恒为0;若y为有理数,则函数仅有有限个异于零的值..因此.所以,累次积分存在且.同理,累次积分.