对积分进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分.doc

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1、1.对积分进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分：（1）当D为由不等式所确定的区域；（2）；（3）.分析：在极坐标变换下，将xOy平面的积分区域D变换成极坐标下的区域，将正确的表示出来，即根据x，y的取值范围正确地确定出的取值范围。解:(1)由极坐标变换知，从而(2)由极坐标变换知从而(3)由,用极坐标变换后,有2.用极坐标计算下列二重积分:(1),其中;(2),其中;(3),其中为圆域:;(4),其中为圆域:.分析：首先在极坐标变换下，将xOy平面的积分区域D变换成极坐标下的区域，将正确的表示出来，即根

2、据x，y的取值范围正确地确定出的取值范围。然后根据的形状化为相应的累次积分。解：（1）.(2)应用极坐标变换后积分区域从而=(3)由对称性有（4）3．在下列积分中引入新变量后，试将它化为累次积分：（1）（2）（3）分析：（1）正确地写出变换后的积分区域；（2）求出变换的雅可比行列式J解：（1）由，得易见，如图21-14，图21-15.于是===(2)，得于是（3）由，得，.于是4.试作适当变换,计算下列积分:(1)(2)分析：根据积分式子和积分区域D的特点做相应的变换解：(1)令则于是(2)令则于是5.求由下列

3、曲面所围成立体V的体积:(1)V是由和所围的立体;(2)V是由曲面和所围的立体.分析：首先写出所围立体的曲顶、曲底方程，然后确定出所围的立体在xy平面上投影区域D。解：(1)该立体在xy平面上投影区域为令则,从而(2)该立体在xy平面上投影区域D为.令,则,于是4.求由下列曲线所围的平面图形面积:(1)(2);(3).分析：设曲线所围的区域为D，曲线所围的平面图形面S=解：(1)令,则,.于是所求面积(2)令,则于是所求面积(3)其极坐标方程为,及,它们的交点(在第一象限内)为,所示利用对称性,得所求面积为=4

4、.设为连续函数,且证明:证明：令,则于是5.试作适当变换,把下列二重积分化为单重积分:(1),其中D为圆域:;(2),其中;(3),其中;(4),其中.分析：根据积分区域和被积函数的特点作相应的变换。解：(1)应用极坐标变换原积分=.(2)由对称性,我们只考虑第一象限部分,应用极坐标变换,这里于是(3)令则于是(4)令,则于是=